Учебное пособие «Алгебра. Углублённый уровень. 9 класс» под редакцией Аркадия Мерзляка и Виталия Полякова представляет собой полный и систематизированный курс по алгебре, специально разработанный для школьников, стремящихся к более глубокому пониманию предмета. Это издание полностью соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) и ориентировано на расширенное изучение алгебры в 9 классе общеобразовательных школ.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 24.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Найдите сто первый член последовательности \((a_n)\), если \(a_1 = 0, a_2 = 1, a_{n+2} = a_{n+1} + 1 — a_n\).
Дана последовательность \(a_1 = 0\), \(a_2 = 1\), \(a_{n+2} = a_{n+1} + 1 — a_n\).
Вычислим первые 6 членов:
\(a_3 = a_2 + 1 — a_1 = 1 + 1 — 0 = 2\),
\(a_4 = a_3 + 1 — a_2 = 2 + 1 — 1 = 2\),
\(a_5 = a_4 + 1 — a_3 = 2 + 1 — 2 = 1\),
\(a_6 = a_5 + 1 — a_4 = 1 + 1 — 2 = 0\).
Проверим период: \(a_7 = a_6 + 1 — a_5 = 0 + 1 — 1 = 0 = a_1\), \(a_8 = a_7 + 1 — a_6 = 0 + 1 — 0 = 1 = a_2\).
Значит, период равен 6.
Найдем остаток от деления 101 на 6: \(101 = 6 \cdot 16 + 5\).
Тогда \(a_{101} = a_5 = 1\).
Ответ: \(a_{101} = 1\).
Рассмотрим числовую последовательность, заданную условиями: \(a_1 = 0\), \(a_2 = 1\), а также рекуррентным соотношением \(a_{n+2} = a_{n+1} + 1 — a_n\). Такое определение позволяет пошагово вычислять каждый следующий член последовательности, используя два предыдущих значения. Начнем с вычисления первых членов: \(a_3 = a_2 + 1 — a_1 = 1 + 1 — 0 = 2\), затем \(a_4 = a_3 + 1 — a_2 = 2 + 1 — 1 = 2\). Продолжая, получаем \(a_5 = a_4 + 1 — a_3 = 2 + 1 — 2 = 1\) и \(a_6 = a_5 + 1 — a_4 = 1 + 1 — 2 = 0\). Уже на этом этапе видно, что значения начинают повторяться: \(a_7 = a_6 + 1 — a_5 = 0 + 1 — 1 = 0\) совпадает с \(a_1\), а \(a_8 = a_7 + 1 — a_6 = 0 + 1 — 0 = 1\) совпадает с \(a_2\).
Периодичность последовательности проявляется в том, что начиная с \(a_7\), значения повторяют первые члены: \(a_7 = a_1\), \(a_8 = a_2\), \(a_9 = a_3\), и так далее. Таким образом, можно утверждать, что последовательность обладает периодом 6. Это означает, что для любого натурального \(k\), выполняется равенство \(a_{n+6k} = a_n\). Чтобы наглядно увидеть структуру последовательности, приведем первые 6 членов в виде таблицы:
<html>
<table border=»1″ cellpadding=»4″>
<tr>
<th>n</th>
<th>1</th>
<th>2</th>
<th>3</th>
<th>4</th>
<th>5</th>
<th>6</th>
</tr>
<tr>
<td>\(a_n\)</td>
<td>0</td>
<td>1</td>
<td>2</td>
<td>2</td>
<td>1</td>
<td>0</td>
</tr>
</table>
</html>
Теперь, чтобы найти значение \(a_{101}\), воспользуемся периодичностью. Сначала вычислим остаток от деления 101 на 6, поскольку период равен 6: \(101 = 6 \cdot 16 + 5\), то есть остаток равен 5. Следовательно, \(a_{101}\) совпадает с \(a_5\). Из вычислений выше видно, что \(a_5 = 1\). Итог: \(a_{101} = 1\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!