ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 24.16 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите сто первый член последовательности \((a_n)\), если \(a_1 = 0, a_2 = 1, a_{n+2} = a_{n+1} + 1 — a_n\).

Дана последовательность \(a_1 = 0\), \(a_2 = 1\), \(a_{n+2} = a_{n+1} + 1 — a_n\).

Вычислим первые 6 членов:
\(a_3 = a_2 + 1 — a_1 = 1 + 1 — 0 = 2\),
\(a_4 = a_3 + 1 — a_2 = 2 + 1 — 1 = 2\),
\(a_5 = a_4 + 1 — a_3 = 2 + 1 — 2 = 1\),
\(a_6 = a_5 + 1 — a_4 = 1 + 1 — 2 = 0\).

Проверим период: \(a_7 = a_6 + 1 — a_5 = 0 + 1 — 1 = 0 = a_1\), \(a_8 = a_7 + 1 — a_6 = 0 + 1 — 0 = 1 = a_2\).

Значит, период равен 6.

Найдем остаток от деления 101 на 6: \(101 = 6 \cdot 16 + 5\).

Тогда \(a_{101} = a_5 = 1\).

Ответ: \(a_{101} = 1\).

1. Дана числовая последовательность с условиями: \(a_1 = 0\), \(a_2 = 1\), и рекуррентным соотношением \(a_{n+2} = a_{n+1} + 1 — a_n\).

2. Вычислим первые несколько членов последовательности по формуле:
\(a_3 = a_2 + 1 — a_1 = 1 + 1 — 0 = 2\).

3. Следующий член:
\(a_4 = a_3 + 1 — a_2 = 2 + 1 — 1 = 2\).

4. Далее:
\(a_5 = a_4 + 1 — a_3 = 2 + 1 — 2 = 1\).

5. Следующий член:
\(a_6 = a_5 + 1 — a_4 = 1 + 1 — 2 = 0\).

6. Проверим, начинается ли период повторяться:
\(a_7 = a_6 + 1 — a_5 = 0 + 1 — 1 = 0\), что совпадает с \(a_1\).

7. Следующий член:
\(a_8 = a_7 + 1 — a_6 = 0 + 1 — 0 = 1\), что совпадает с \(a_2\).

8. Значит, последовательность периодична с периодом 6.

9. Чтобы найти \(a_{101}\), найдем остаток от деления 101 на 6:
\(101 = 6 \cdot 16 + 5\), остаток 5.

10. Значит, \(a_{101} = a_5 = 1\).