ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 24.17 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Последовательность задана рекуррентно: \(a_1 = 7, a_2 = 25, a_{n+2} = 7a_{n+1} — 12a_n\). Докажите, что все члены этой последовательности при делении на 3 дают в остатке 1.

Дана числовая последовательность: \(a_1 = 7\), \(a_2 = 25\), \(a_{n+2} = 7a_{n+1} — 12a_n\).

1) Если \(n = 1\) или \(n = 2\), тогда: \(a_1 = 7 = 3 \cdot 2 + 1\); \(a_2 = 25 = 3 \cdot 8 + 1\).

2) Если \(a_n = 3p + 1\) и \(a_{n+1} = 3q + 1\), тогда:
\(a_{n+2} = 7(3q + 1) — 12(3p + 1) = 21q + 7 — 36p — 12\);
\(a_{n+2} = 21q — 36p — 5 = 21q — 36p — 6 + 1 = 3(7q — 12p — 2) + 1\).

Что и требовалось доказать.

1) Дана последовательность чисел: \(a_1 = 7\), \(a_2 = 25\), \(a_{n+2} = 7a_{n+1} — 12a_n\).

2) Проверим первые два члена последовательности по модулю 3. Для \(n=1\) имеем \(a_1 = 7 = 3 \cdot 2 + 1\), значит остаток от деления на 3 равен 1. Для \(n=2\) имеем \(a_2 = 25 = 3 \cdot 8 + 1\), остаток также равен 1.

3) Предположим, что для некоторых \(n\) и \(n+1\) справедливо: \(a_n = 3p + 1\) и \(a_{n+1} = 3q + 1\), где \(p\) и \(q\) — целые числа.

4) По формуле рекуррентного соотношения вычислим \(a_{n+2}\):
\(a_{n+2} = 7a_{n+1} — 12a_n\).

5) Подставим наши предположения:
\(a_{n+2} = 7(3q + 1) — 12(3p + 1) = 21q + 7 — 36p — 12\).

6) Упростим выражение:
\(a_{n+2} = 21q — 36p — 5\).

7) Представим число \(a_{n+2}\) в виде суммы числа, кратного 3, и остатка 1:
\(a_{n+2} = 21q — 36p — 6 + 1 = 3(7q — 12p — 2) + 1\).

8) Так как \(7q — 12p — 2\) — целое число, обозначим его за \(r\), тогда
\(a_{n+2} = 3r + 1\).

9) Значит, если два предыдущих члена последовательности при делении на 3 дают остаток 1, то и следующий член также даёт остаток 1.

10) По принципу математической индукции для всех натуральных \(n\) верно, что \(a_n \equiv 1 \pmod{3}\).