ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 24.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Последовательность задана рекуррентно: \(a_1 = 8, a_{n+1} = 7a_n — 6\). Докажите, что все члены этой последовательности при делении на 3 дают в остатке 2.

Дана числовая последовательность: \(a_1 = 8\), \(a_{n+1} = 7a_n — 6\).

1) Если \(n=1\), тогда: \(a_1 = 8 = 3 \cdot 2 + 2\);

2) Если \(a_n = 3k + 2\), тогда:

\(a_{n+1} = 7(3k + 2) — 6 = 21k + 14 — 6 = 21k + 8 = 3 \cdot 7k + 6 + 2 = 3(7k + 2) + 2\).

Что и требовалось доказать.

1) Дана числовая последовательность \(a_1 = 8\), \(a_{n+1} = 7a_n — 6\). Нужно доказать, что при делении \(a_n\) на 3 всегда получается остаток 2.

2) Рассмотрим первый член последовательности: \(a_1 = 8\). При делении 8 на 3 получаем частное 2 и остаток 2, то есть \(8 = 3 \cdot 2 + 2\). Значит, для \(n=1\) утверждение верно.

3) Предположим, что для некоторого \(n\) верно \(a_n = 3k + 2\), где \(k\) — целое число. Это индукционное предположение.

4) По формуле рекурсии вычислим следующий член: \(a_{n+1} = 7a_n — 6\).

5) Подставим в формулу \(a_n = 3k + 2\):

\(a_{n+1} = 7(3k + 2) — 6 = 21k + 14 — 6\).

6) Упростим выражение:

\(a_{n+1} = 21k + 8\).

7) Представим 8 как сумму \(6 + 2\), тогда:

\(a_{n+1} = 21k + 6 + 2\).

8) Вынесем 3 за скобки из первых двух слагаемых:

\(a_{n+1} = 3 \cdot 7k + 3 \cdot 2 + 2 = 3(7k + 2) + 2\).

9) Так как \(7k + 2\) — целое число, то \(a_{n+1}\) при делении на 3 даёт остаток 2.

10) Следовательно, по математической индукции для всех \(n\) верно, что \(a_n\) при делении на 3 даёт остаток 2. Что и требовалось доказать.