Учебное пособие «Алгебра. Углублённый уровень. 9 класс» под редакцией Аркадия Мерзляка и Виталия Полякова представляет собой полный и систематизированный курс по алгебре, специально разработанный для школьников, стремящихся к более глубокому пониманию предмета. Это издание полностью соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) и ориентировано на расширенное изучение алгебры в 9 классе общеобразовательных школ.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 24.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Последовательность задана рекуррентно: \(a_1 = 7, a_2 = 29, a_{n+2} = 7a_{n+1} — 10a_n\). Докажите, что \(a_n = 2^n + 5^n\).
Дана последовательность: \(a_1 = 7\), \(a_2 = 29\), \(a_{n+2} = 7a_{n+1} — 10a_n\).
Проверим при \(n=1\):
\(a_1 = 7 = 2^1 + 5^1\).
Проверим при \(n=2\):
\(a_2 = 29 = 2^2 + 5^2\).
Предположим, что \(a_n = 2^n + 5^n\) и \(a_{n+1} = 2^{n+1} + 5^{n+1}\).
Тогда
\(a_{n+2} = 7a_{n+1} — 10a_n = 7(2^{n+1} + 5^{n+1}) — 10(2^n + 5^n)\).
Раскроем скобки:
\(a_{n+2} = 7 \cdot 2^{n+1} + 7 \cdot 5^{n+1} — 10 \cdot 2^n — 10 \cdot 5^n\).
Запишем через степени:
\(a_{n+2} = 7 \cdot 2 \cdot 2^n + 7 \cdot 5 \cdot 5^n — 10 \cdot 2^n — 10 \cdot 5^n\).
Сгруппируем:
\(a_{n+2} = (14 — 10) 2^n + (35 — 10) 5^n = 4 \cdot 2^n + 25 \cdot 5^n\).
Перепишем:
\(a_{n+2} = 2^2 \cdot 2^n + 5^2 \cdot 5^n = 2^{n+2} + 5^{n+2}\).
Что и требовалось доказать.
1. Дана рекуррентная последовательность с начальными условиями: \(a_1 = 7\), \(a_2 = 29\), и правилом для \(n \geq 1\): \(a_{n+2} = 7a_{n+1} — 10a_n\).
2. Нужно доказать, что общее выражение для \(a_n\) равно \(a_n = 2^n + 5^n\).
3. Проверим это выражение для первых двух членов последовательности.
4. При \(n=1\) по формуле \(a_1 = 2^1 + 5^1 = 2 + 5 = 7\), что совпадает с заданным \(a_1\).
5. При \(n=2\) по формуле \(a_2 = 2^2 + 5^2 = 4 + 25 = 29\), что совпадает с заданным \(a_2\).
6. Предположим, что для некоторого \(n\) верно: \(a_n = 2^n + 5^n\), и для \(n+1\) тоже верно: \(a_{n+1} = 2^{n+1} + 5^{n+1}\).
7. По правилу рекурсии вычислим \(a_{n+2}\): \(a_{n+2} = 7a_{n+1} — 10a_n\).
8. Подставим предположения индукции: \(a_{n+2} = 7(2^{n+1} + 5^{n+1}) — 10(2^n + 5^n)\).
9. Раскроем скобки: \(a_{n+2} = 7 \cdot 2^{n+1} + 7 \cdot 5^{n+1} — 10 \cdot 2^n — 10 \cdot 5^n\).
10. Вынесем общие множители: \(a_{n+2} = 7 \cdot 2 \cdot 2^n + 7 \cdot 5 \cdot 5^n — 10 \cdot 2^n — 10 \cdot 5^n =\)
\(= (14 — 10) 2^n + (35 — 10) 5^n = 4 \cdot 2^n + 25 \cdot 5^n\).
11. Перепишем степени: \(a_{n+2} = 2^2 \cdot 2^n + 5^2 \cdot 5^n = 2^{n+2} + 5^{n+2}\).
12. Значит, формула \(a_n = 2^n + 5^n\) удовлетворяет рекуррентному соотношению и начальным условиям для всех натуральных \(n\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.