ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 24.21 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Последовательность задана рекуррентно: \(a_1 = 4, a_{n+1} = 2a_n — 3\). Докажите, что \(a_n = 2^n — 1 + 3\).

Дана числовая последовательность: \(a_1 = 4\), \(a_{n+1} = 2a_n — 3\).

1) Если \(n = 1\), тогда: \(a_1 = 4 = 1 + 3 = 2^0 + 3 = 2^{1-1} + 3\).

2) Если \(a_n = 2^{n-1} + 3\), тогда:
\(a_{n+1} = 2(2^{n-1} + 3) — 3 = 2 \cdot 2^{n-1} + 6 — 3 = 2^n + 3 = 2^{(n+1)-1} + 3\).

Что и требовалось доказать.

1) Дана числовая последовательность: \(a_1 = 4\), \(a_{n+1} = 2a_n — 3\).

2) Проверим формулу при \(n=1\). Подставим в формулу \(a_n = 2^{n-1} + 3\):
\(a_1 = 2^{1-1} + 3 = 2^0 + 3 = 1 + 3 = 4\).
Это совпадает с заданным значением \(a_1 = 4\), значит база индукции верна.

3) Предположим, что для некоторого \(n\) верно:
\(a_n = 2^{n-1} + 3\).

4) Докажем, что тогда формула верна и для \(n+1\). По определению:
\(a_{n+1} = 2a_n — 3\).

5) Подставим в это выражение предположение индукции:
\(a_{n+1} = 2(2^{n-1} + 3) — 3\).

6) Раскроем скобки:
\(a_{n+1} = 2 \cdot 2^{n-1} + 2 \cdot 3 — 3 = 2^n + 6 — 3\).

7) Упростим:
\(a_{n+1} = 2^n + 3\).

8) Запишем это в виде формулы для \(n+1\):
\(a_{n+1} = 2^{(n+1)-1} + 3\).

9) Значит, если формула верна для \(n\), то она верна и для \(n+1\).

10) По принципу математической индукции формула
\(a_n = 2^{n-1} + 3\)
верна для всех натуральных чисел \(n \geq 1\).