ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 24.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите формулу \(n\)-го члена последовательности, заданной рекуррентно:

1) \(a_1 = 1, a_{n+1} = 2a_n + 1\);

2) \(a_1 = \frac{1}{2}, a_{n+1} = \frac{1}{2} a_n\);

3) \(a_1 = 0, a_{n+1} = a_n + 2\sqrt{a_n} + 1\).

1) \(a_1 = 1\), \(a_{n+1} = 2a_n + 1\)
Пусть \(a_n = 2^n — 1\). Проверим:
\(a_{n+1} = 2a_n + 1 = 2(2^n — 1) + 1 = 2^{n+1} — 2 + 1 = 2^{n+1} — 1\).
Ответ: \(a_n = 2^n — 1\).

2) \(a_1 = \frac{1}{2}\), \(a_{n+1} = \frac{1}{2 — a_n}\)
Пусть \(a_n = \frac{n}{n+1}\). Проверим:
\(a_{n+1} = \frac{1}{2 — a_n} = \frac{1}{2 — \frac{n}{n+1}} = \frac{1}{\frac{2(n+1)-n}{n+1}} = \frac{n+1}{n+2} = \frac{n+1}{(n+1)+1}\).
Ответ: \(a_n = \frac{n}{n+1}\).

3) \(a_1 = 0\), \(a_{n+1} = a_n + 2\sqrt{a_n} + 1\)
Пусть \(a_n = (n-1)^2\). Проверим:
\(a_{n+1} = (n-1)^2 + 2(n-1) + 1 = (n-1 + 1)^2 = n^2\).
Ответ: \(a_n = (n-1)^2\).

1) Последовательность задана так: \(a_1 = 1\), \(a_{n+1} = 2a_n + 1\).
Посчитаем первые несколько членов:
\(a_1 = 1\)
\(a_2 = 2a_1 + 1 = 2 \cdot 1 + 1 = 3\)
\(a_3 = 2a_2 + 1 = 2 \cdot 3 + 1 = 7\)
\(a_4 = 2a_3 + 1 = 2 \cdot 7 + 1 = 15\)
Видно, что члены последовательности равны \(1, 3, 7, 15\). Это похоже на числа вида \(2^n — 1\). Предположим, что \(a_n = 2^n — 1\). Проверим, подходит ли это для общего члена:
Подставим в рекуррентное соотношение:
\(a_{n+1} = 2a_n + 1 = 2(2^n — 1) + 1 = 2^{n+1} — 2 + 1 = 2^{n+1} — 1\).
Это совпадает с формулой, значит, наше предположение верно.
Ответ: \(a_n = 2^n — 1\).

2) Последовательность задана так: \(a_1 = \frac{1}{2}\), \(a_{n+1} = \frac{1}{2 — a_n}\).
Вычислим первые несколько членов:
\(a_1 = \frac{1}{2}\)
\(a_2 = \frac{1}{2 — a_1} = \frac{1}{2 — \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}\)
\(a_3 = \frac{1}{2 — a_2} = \frac{1}{2 — \frac{2}{3}} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}\)
\(a_4 = \frac{1}{2 — a_3} = \frac{1}{2 — \frac{3}{4}} = \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5}\)
Видно, что \(a_n = \frac{n}{n+1}\). Проверим для общего члена:
\(a_{n+1} = \frac{1}{2 — a_n} = \frac{1}{2 — \frac{n}{n+1}} = \frac{1}{\frac{2(n+1) — n}{n+1}} = \frac{n+1}{n+2}\).
Это совпадает с формулой \(a_{n+1} = \frac{n+1}{(n+1)+1}\). Значит, формула верна.
Ответ: \(a_n = \frac{n}{n+1}\).

3) Последовательность задана так: \(a_1 = 0\), \(a_{n+1} = a_n + 2\sqrt{a_n} + 1\).
Вычислим первые несколько членов:
\(a_1 = 0\)
\(a_2 = a_1 + 2\sqrt{a_1} + 1 = 0 + 0 + 1 = 1\)
\(a_3 = a_2 + 2\sqrt{a_2} + 1 = 1 + 2 \cdot 1 + 1 = 4\)
\(a_4 = a_3 + 2\sqrt{a_3} + 1 = 4 + 2 \cdot 2 + 1 = 9\)
Видно, что \(a_n\) равны \(0, 1, 4, 9\), то есть квадратам чисел. Предположим, что \(a_n = (n-1)^2\). Проверим:
\(a_{n+1} = a_n + 2\sqrt{a_n} + 1 = (n-1)^2 + 2(n-1) + 1 = (n-1 + 1)^2 = n^2\).
Это совпадает с формулой \(a_{n+1} = n^2\), значит, \(a_n = (n-1)^2\).
Ответ: \(a_n = (n-1)^2\).