ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 24.23 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Последовательность задана рекуррентно: \(a_1 = 1, a_{n+1} = a_n + 8n\). Докажите, что любой член этой последовательности является квадратом натурального числа.

Дана последовательность: \(a_1 = 1\), \(a_{n+1} = a_n + 8n\).

Проверим первые члены:

\(a_1 = 1 = (2 \cdot 1 — 1)^2\);

\(a_2 = a_1 + 8 \cdot 1 = 1 + 8 = 9 = (2 \cdot 2 — 1)^2\);

\(a_3 = a_2 + 8 \cdot 2 = 9 + 16 = 25 = (2 \cdot 3 — 1)^2\).

Предположим, что \(a_n = (2n — 1)^2\).

Тогда

\(a_{n+1} = a_n + 8n = (2n — 1)^2 + 8n = 4n^2 — 4n + 1 + 8n = 4n^2 + 4n + 1 =\)

\(= (2n + 1)^2 = (2(n+1) — 1)^2\).

Что и требовалось доказать.

1. Дана последовательность \(a_1 = 1\), \(a_{n+1} = a_n + 8n\). Нужно доказать, что для любого \(n\) выполняется равенство \(a_n = (2n — 1)^2\).

2. Проверим, что это верно для первых нескольких значений \(n\):

\(a_1 = 1\), а по формуле \( (2 \cdot 1 — 1)^2 = 1^2 = 1\). Значит, для \(n=1\) утверждение верно.

3. Посчитаем \(a_2\):

\(a_2 = a_1 + 8 \cdot 1 = 1 + 8 = 9\).

По формуле:

\((2 \cdot 2 — 1)^2 = 3^2 = 9\).

Значит, для \(n=2\) утверждение тоже верно.

4. Посчитаем \(a_3\):

\(a_3 = a_2 + 8 \cdot 2 = 9 + 16 = 25\).

По формуле:

\((2 \cdot 3 — 1)^2 = 5^2 = 25\).

Для \(n=3\) тоже верно.

5. Предположим, что для некоторого \(n\) выполнено:

\(a_n = (2n — 1)^2\).

6. Докажем, что тогда верно и для \(n+1\):

\(a_{n+1} = a_n + 8n\).

7. Подставим предположение:

\(a_{n+1} = (2n — 1)^2 + 8n\).

8. Раскроем квадрат и упростим выражение:

\((2n — 1)^2 + 8n = 4n^2 — 4n + 1 + 8n = 4n^2 + 4n + 1\).

9. Заметим, что \(4n^2 + 4n + 1\) — это квадрат числа \(2n + 1\), то есть:

\(4n^2 + 4n + 1 = (2n + 1)^2\).

10. Следовательно,

\(a_{n+1} = (2n + 1)^2 = (2(n+1) — 1)^2\).

Таким образом, по принципу математической индукции доказано, что для любого \(n\) верно \(a_n = (2n — 1)^2\).