ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 24.24 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Последовательность задана рекуррентно: \(a_1 = 1, a_{n+1} = a_n^2 + a_2^2 + \ldots + a_n^2 + n\). Докажите, что в этой последовательности все члены, кроме первого, не являются квадратами натуральных чисел.

Дана последовательность: \(a_1 = 1\), \(a_{n+1} = a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2 + n\).

1) Следующий член последовательности:

\(a_{n+2} = a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2 + a_{n+1}^2 + (n+1)\),

то есть

\(a_{n+2} = a_{n+1} + a_{n+1}^2 + 1\).

2) Проверим неравенства:

\(a_{n+1}^2 < a_{n+1}^2 + a_{n+1} + 1 < a_{n+1}^2 + 2a_{n+1} + 1\),

то есть

\(a_{n+1}^2 < a_{n+2} < (a_{n+1} + 1)^2\).

Отсюда следует, что \(a_{n+2}\) не является квадратом натурального числа, так как оно строго между двумя соседними квадратами.

Что и требовалось доказать.

1) Дана последовательность \(a_1, a_2, a_3, \ldots\), где \(a_1 = 1\) и для любого натурального \(n\) выполняется равенство \(a_{n+1} = a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2 + n\).

2) Рассмотрим разницу между соседними членами сдвинутой последовательности:
\(a_{n+2} — a_{n+1} = \left(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2 + a_{n+1}^2 + (n+1)\right) — \left(a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2 + n\right)\).

3) После сокращения одинаковых слагаемых получаем:
\(a_{n+2} — a_{n+1} = a_{n+1}^2 + 1\).

4) Перепишем это равенство в виде:
\(a_{n+2} = a_{n+1} + a_{n+1}^2 + 1\).

5) Теперь сравним \(a_{n+2}\) с квадратами чисел, стоящих рядом:
\(a_{n+1}^2 < a_{n+1}^2 + a_{n+1} + 1 < a_{n+1}^2 + 2a_{n+1} + 1\).

6) Воспользуемся формулой разложения квадрата суммы:
\(a_{n+1}^2 + 2a_{n+1} + 1 = (a_{n+1} + 1)^2\).

7) Значит, неравенства можно записать так:
\(a_{n+1}^2 < a_{n+2} < (a_{n+1} + 1)^2\).

8) Следовательно, число \(a_{n+2}\) строго больше квадрата \(a_{n+1}^2\), но строго меньше квадрата следующего натурального числа \((a_{n+1} + 1)^2\).

9) Из этого следует, что \(a_{n+2}\) не может быть квадратом натурального числа, так как оно находится между двумя соседними квадратами.

10) Поскольку \(a_2 = 2\) — не квадрат, а для всех \(n \geq 2\) выполняется описанное неравенство, то для всех таких \(n\) число \(a_n\) не является квадратом натурального числа. Что и требовалось доказать.