ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 24.25 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Для последовательности \((x_n)\) справедлива такая рекуррентная формула: \(x_{n+1} = x_n^2 — 2x_n + 2\). Найдите все значения \(x_1\), при которых выполняется равенство \(x_1 = x_{1000}\).

Дана последовательность \(x_{n+1} = x_n^2 — 2x_n + 2\), \(x_1 = x_{1000}\).

Пусть \(y_n = x_n — 1\), тогда

\(x_{n+1} = (y_n + 1)^2 — 2(y_n + 1) + 2 = y_n^2 + 1\),

значит

\(y_{n+1} = y_n^2\).

Тогда

\(y_n = y_1^{2^{n-1}}\).

Условие \(x_1 = x_{1000}\) значит

\(y_1 = y_{1000} = y_1^{2^{999}}\).

Если \(y_1 = 0\), то равенство верно.

Если \(y_1 \neq 0\), делим на \(y_1\):

\(1 = y_1^{2^{999} — 1}\).

Тогда \(y_1 = 1\).

Значит \(x_1 = y_1 + 1\) равны либо 1, либо 2.

Ответ: 1; 2.

Рассмотрим последовательность, заданную формулой \(x_{n+1} = x_n^2 — 2x_n + 2\). Нам известно, что первый член равен тысяче первому: \(x_1 = x_{1000}\). Чтобы упростить выражение, введём новую переменную \(y_n = x_n — 1\). Это часто помогает, когда в формуле есть выражения вида \(x_n — 1\) или подобные, так как можно упростить вычисления.

Подставим \(x_n = y_n + 1\) в исходное уравнение: \(x_{n+1} = (y_n + 1)^2 — 2(y_n + 1) + 2\). Раскроем скобки и упростим: \(y_n^2 + 2y_n + 1 — 2y_n — 2 + 2 = y_n^2 + 1\). Таким образом, новая последовательность \(y_n\) удовлетворяет рекуррентному соотношению \(y_{n+1} = y_n^2\). Это очень простое уравнение, которое говорит, что следующий член равен квадрату предыдущего.

Теперь рассмотрим условие \(x_1 = x_{1000}\) в терминах \(y_n\). Так как \(x_n = y_n + 1\), то \(x_1 = x_{1000}\) означает \(y_1 + 1 = y_{1000} + 1\), то есть \(y_1 = y_{1000}\). По формуле для \(y_n\) имеем \(y_n = y_1^{2^{n-1}}\), значит \(y_{1000} = y_1^{2^{999}}\). Подставим это в равенство: \(y_1 = y_1^{2^{999}}\).

Рассмотрим два варианта. Если \(y_1 = 0\), то равенство \(0 = 0^{2^{999}} = 0\) верно. Если \(y_1 \neq 0\), можно поделить обе части на \(y_1\), получив \(1 = y_1^{2^{999} — 1}\). Поскольку \(2^{999} — 1\) — нечётное число, это означает, что \(y_1\) должно быть равно 1, чтобы возведение в эту степень дало 1.

Возвращаясь к переменной \(x_1\), получаем \(x_1 = y_1 + 1\), то есть либо \(x_1 = 0 + 1 = 1\), либо \(x_1 = 1 + 1 = 2\). Следовательно, возможные значения \(x_1\), удовлетворяющие условию \(x_1 = x_{1000}\), равны 1 или 2.