ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 24.26 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите все значения параметра \(a\), при которых множество решений системы неравенств \(\{x^2 — x — 6 < 0, x > a\}\) содержит ровно три целых числа.

Дано неравенство \(x^2 — x — 6 < 0\). Найдём корни уравнения \(x^2 — x — 6 = 0\).

Дискриминант \(D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25\).

Корни: \(x_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2\), \(x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3\).

Неравенство выполняется при \(-2 < x < 3\).

Целые числа на этом промежутке: \(-1, 0, 1, 2\).

Второе неравенство: \(x > a\).

Чтобы в системе было ровно три целых решения, нужно, чтобы из четырёх чисел \(-1, 0, 1, 2\) осталось ровно три.

Если \(a < -1\), решений будет 4.

Если \(a \in [-1, 0)\), решений будет 3: \(0, 1, 2\).

Если \(a \geq 0\), решений будет меньше 3.

Ответ: \(a \in [-1; 0)\).

Рассмотрим подробно, как определяется множество целых решений системы неравенств, и почему именно значения \(a\) из интервала \(a \in [-1; 0)\) дают ровно три целых числа в пересечении. Начнем с первого неравенства: \(x^2 — x — 6 < 0\). Решим соответствующее квадратное уравнение \(x^2 — x — 6 = 0\). Дискриминант вычисляется по формуле: \(D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25\). Корни находятся так: \(x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1}\), то есть \(x_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2\) и \(x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3\). Поскольку коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола открыта вверх, и неравенство выполняется между корнями: \(-2 < x < 3\). Все целые числа, попадающие в этот интервал, это \(-1, 0, 1, 2\). Далее анализируем второе неравенство \(x > a\). Множество решений системы — это пересечение интервала \(-2 < x < 3\) и множества \(x > a\), то есть \(x \in (\max(-2, a), 3)\). Чтобы в этом пересечении оказалось ровно три целых числа, надо выяснить, какие значения \(a\) этому соответствуют. Если \(a < -1\), то все четыре числа \(-1, 0, 1, 2\) удовлетворяют неравенству \(x > a\), потому что ни одно из них не исключается. Если \(a = -1\), то число \(-1\) уже не входит в решение, поскольку не выполняется строгое неравенство \(x > -1\), и остаются числа \(0, 1, 2\). Если \(a \in (-1, 0)\), то также остаются только три числа \(0, 1, 2\), поскольку \(x > a\) для \(x = 0, 1, 2\) выполняется, а для \(-1\) уже нет. Если \(a \geq 0\), то решений становится меньше трех.

Таким образом, чтобы в пересечении было ровно три целых числа, \(a\) должен принимать значения из интервала \(a \in [-1; 0)\). Это можно обосновать так: при \(a < -1\) решений будет четыре, при \(a \geq 0\) — два или меньше, а ровно три решения получаются только при \(a \in [-1; 0)\), когда из исходного множества \(-1, 0, 1, 2\) исключается только \(-1\), и остаются числа \(0, 1, 2\).

Для наглядности оформим соответствующую таблицу вариантов значений \(a\) и количества целых решений:

Итак, итоговое множество значений параметра: \(a \in [-1; 0)\), что обеспечивает ровно три целых решения системы.