ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 24.26 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите все значения параметра \(a\), при которых множество решений системы неравенств \(\{x^2 — x — 6 < 0, x > a\}\) содержит ровно три целых числа.

Дано неравенство \(x^2 — x — 6 < 0\). Найдём корни уравнения \(x^2 — x — 6 = 0\).

Дискриминант \(D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25\).

Корни: \(x_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2\), \(x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3\).

Неравенство выполняется при \(-2 < x < 3\).

Целые числа на этом промежутке: \(-1, 0, 1, 2\).

Второе неравенство: \(x > a\).

Чтобы в системе было ровно три целых решения, нужно, чтобы из четырёх чисел \(-1, 0, 1, 2\) осталось ровно три.

Если \(a < -1\), решений будет 4.

Если \(a \in [-1, 0)\), решений будет 3: \(0, 1, 2\).

Если \(a \geq 0\), решений будет меньше 3.

Ответ: \(a \in [-1; 0)\).

1. Рассмотрим первое неравенство \(x^2 — x — 6 < 0\). Для начала решим уравнение \(x^2 — x — 6 = 0\).

2. Найдём дискриминант: \(D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25\).

3. Найдём корни уравнения по формуле: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\), где \(a = 1\), \(b = -1\).

4. Корни равны \(x_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2\) и \(x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3\).

5. Поскольку коэффициент при \(x^2\) положительный, неравенство \(x^2 — x — 6 < 0\) выполняется между корнями, то есть при \(-2 < x < 3\).

6. Определим все целые числа, которые удовлетворяют этому неравенству: это числа \(-1, 0, 1, 2\).

7. Теперь рассмотрим второе неравенство \(x > a\).

8. Множество решений системы — это пересечение интервала \(-2 < x < 3\) и множества \(x > a\), то есть \(x \in (\max(-2, a), 3)\).

9. Чтобы в пересечении было ровно три целых числа, рассмотрим варианты значения \(a\):

— Если \(a < -2\), то решений будет 4 (числа \(-1, 0, 1, 2\)).

— Если \(a \in [-1, 0)\), то решений будет 3 (числа \(0, 1, 2\)).

— Если \(a \geq 0\), то решений будет меньше 3.

10. Следовательно, ответ: \(a \in [-1; 0)\).