ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 24.27 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Решите неравенство \((x^2 — 9)\sqrt{x^2 — 6x + 5} > 0\).

Решаем неравенство: \((x^2 — 9)\sqrt{x^2 — 6x + 5} \geq 0\).

1) Решаем \(x^2 — 9 \geq 0\):
\((x + 3)(x — 3) \geq 0\),
значит \(x \leq -3\) или \(x \geq 3\).

2) Область определения:
\(x^2 — 6x + 5 \geq 0\),
дискриминант \(D = 6^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16\),
корни \(x_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1\), \(x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5\),
значит \((x — 1)(x — 5) \geq 0\),
то есть \(x \leq 1\) или \(x \geq 5\).

3) Пересечение решений и области определения:
\(x \leq -3\) (из первого условия и \(x \leq 1\) из второго),
\(x = 1\) (из области определения),
\(x \geq 5\) (из обоих условий).

Ответ: \(x \in (-\infty; -3] \cup \{1\} \cup [5; +\infty)\).

1) Рассмотрим неравенство \((x^2 — 9)\sqrt{x^2 — 6x + 5} \geq 0\). Чтобы оно имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Значит, решаем неравенство \(x^2 — 6x + 5 \geq 0\).

2) Найдём корни квадратного выражения. Дискриминант равен \(D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16\). Корни вычисляем по формуле: \(x_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1\), \(x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5\).

3) Поскольку коэффициент при \(x^2\) положительный, парабола направлена вверх, значит неравенство \(x^2 — 6x + 5 \geq 0\) верно при \(x \leq 1\) или \(x \geq 5\).

4) Теперь рассмотрим знак множителя \(x^2 — 9\). Распишем его как \((x — 3)(x + 3) \geq 0\).

5) Решая неравенство \((x — 3)(x + 3) \geq 0\), получаем \(x \leq -3\) или \(x \geq 3\).

6) Корень \(\sqrt{x^2 — 6x + 5}\) всегда неотрицателен в области определения, поэтому знак всего выражения зависит только от знака \(x^2 — 9\).

7) Чтобы произведение было неотрицательным, нужно, чтобы \(x^2 — 9 \geq 0\) и при этом \(x\) принадлежал области определения \(x \leq 1\) или \(x \geq 5\).

8) Пересечём условия: \(x \leq -3\) и \(x \leq 1\) дают \(x \leq -3\). \(x \geq 3\) и \(x \geq 5\) дают \(x \geq 5\).

9) Проверим точки \(x = -3\) и \(x = 5\). Они удовлетворяют обоим условиям, так как подкоренное выражение неотрицательно, а \(x^2 — 9 = 0\) в этих точках.

10) Итоговое решение: \(x \in (-\infty; -3] \cup [5; +\infty)\).