ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 24.3 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Последовательность \((a_n)\) задана рекуррентно: \(a_1 = 1, a_{n+1} = a_n + 3\). Является ли членом этой последовательности число 999?

Дана последовательность: \(a_1 = 1\), \(a_{n+1} = a_n + 3\), \(a_k = 999\).

1) Разность соседних членов: \(a_{n+1} — a_n = (a_n + 3) — a_n = 3\), делится на 3.

2) Разность любых двух членов: \(a_k — a_1 = 999 — 1 = 998 = 3 \cdot 332 + 2\), не делится на 3.

Ответ: нет.

1) Дана последовательность \(a_1 = 1\), \(a_{n+1} = a_n + 3\). Это арифметическая прогрессия с разностью \(d = 3\).

2) Найдём общий член последовательности по формуле \(a_n = a_1 + (n-1)d\). Подставляем: \(a_n = 1 + (n-1) \cdot 3 = 3n — 2\).

3) Проверим, существует ли такой номер \(k\), что \(a_k = 999\).

4) Подставим \(a_k = 999\) в формулу общего члена: \(999 = 3k — 2\).

5) Решим уравнение относительно \(k\): \(3k = 999 + 2 = 1001\).

6) Найдём \(k = \frac{1001}{3} = 333 \frac{1}{3}\).

7) Полученное значение \(k\) не является целым числом, а номер члена последовательности должен быть целым.

8) Следовательно, число 999 не входит в последовательность.

9) Проверим разность между \(a_k\) и \(a_1\): \(999 — 1 = 998\).

10) Число 998 не делится на 3, а разность между членами арифметической прогрессии должна делиться на разность \(d=3\). Значит, 999 не является членом последовательности.