ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 24.7 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Последовательность \((a_n)\) задана формулой \(a_n = n^2 — 3n — 8\). Найдите номера членов этой последовательности, которые меньше 10.

Дана последовательность \(a_n = n^2 — 3n — 8\). Нужно найти, при каких \(a_n < 10\).

Запишем неравенство: \(n^2 — 3n — 8 < 10\).

Переносим 10 влево: \(n^2 — 3n — 18 < 0\).

Решаем уравнение \(n^2 — 3n — 18 = 0\).

Дискриминант: \(D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81\).

Корни: \(n_1 = \frac{3 — 9}{2} = -3\), \(n_2 = \frac{3 + 9}{2} = 6\).

Неравенство выполняется при \(-3 < n < 6\).

Целые положительные \(n\): 1, 2, 3, 4, 5.

Ответ: 1; 2; 3; 4; 5.

1. Дана числовая последовательность \(a_n = n^2 — 3n — 8\). Нужно найти все такие \(n\), при которых \(a_n < 10\).

2. Запишем неравенство: \(n^2 — 3n — 8 < 10\).

3. Перенесём 10 в левую часть: \(n^2 — 3n — 8 — 10 < 0\), то есть \(n^2 — 3n — 18 < 0\).

4. Решим квадратное уравнение \(n^2 — 3n — 18 = 0\), чтобы найти границы интервала.

5. Найдём дискриминант: \(D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 9 + 72 = 81\).

6. Найдём корни уравнения: \(n_1 = \frac{3 — 9}{2} = \frac{-6}{2} = -3\), \(n_2 = \frac{3 + 9}{2} = \frac{12}{2} = 6\).

7. Так как коэффициент при \(n^2\) положительный, неравенство \(n^2 — 3n — 18 < 0\) выполняется при \(n\) между корнями: \(-3 < n < 6\).

8. Поскольку \(n\) — номер члена последовательности и должен быть целым положительным числом, выберем целые \(n\) в интервале от 1 до 5.

9. Проверим эти значения: для \(n=1, 2, 3, 4, 5\) значения \(a_n\) действительно меньше 10.

10. Ответ: 1; 2; 3; 4; 5.