ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 24.8 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Последовательность \((b_n)\) задана формулой \(b_n = -n^2 + 15n — 20\). Сколько членов этой последовательности больше 16?

Дана последовательность \(b_n = -n^2 + 15n — 20\). Найдём члены, большие 16:

\(-n^2 + 15n — 20 > 16\)

Переносим 16 влево:

\(-n^2 + 15n — 36 > 0\)

Умножаем на \(-1\), меняя знак:

\(n^2 — 15n + 36 < 0\)

Дискриминант:

\(D = 15^2 — 4 \cdot 36 = 225 — 144 = 81\)

Корни:

\(n_1 = \frac{15 — 9}{2} = 3\), \(n_2 = \frac{15 + 9}{2} = 12\)

Неравенство выполняется при \(3 < n < 12\)

Целые \(n\): 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11

Количество таких членов:

\(N = 11 — 4 + 1 = 8\)

Ответ: 8

Рассмотрим последовательность \(b_n = -n^2 + 15n — 20\) и задачу нахождения количества членов, для которых выполняется условие \(b_n > 16\). Сначала запишем соответствующее неравенство: \(-n^2 + 15n — 20 > 16\). Переносим 16 в левую часть, получая \(-n^2 + 15n — 36 > 0\). Далее, чтобы избавиться от отрицательного коэффициента при \(n^2\), умножаем обе части на \(-1\), не забывая изменить знак неравенства: \(n^2 — 15n + 36 < 0\).

Теперь найдем корни квадратного уравнения \(n^2 — 15n + 36 = 0\). Для этого вычислим дискриминант по формуле \(D = b^2 — 4ac\): \(D = 15^2 — 4 \cdot 36 = 225 — 144 = 81\). Корни уравнения определяются по формуле \(n_{1,2} = \frac{15 \pm \sqrt{81}}{2}\). Получаем: \(n_1 = \frac{15 — 9}{2} = 3\), \(n_2 = \frac{15 + 9}{2} = 12\). Поскольку коэффициент при \(n^2\) положительный, ветви параболы направлены вверх, а неравенство выполняется для значений \(n\) между корнями: \(3 < n < 12\).

Осталось определить целые значения \(n\), удовлетворяющие этому интервалу: это \(n = 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11\). Всего таких значений восемь. Для подсчета используем формулу количества членов в последовательности: \(N = 11 — 4 + 1 = 8\). Следовательно, в данной последовательности ровно восемь членов, для которых выполняется условие \(b_n > 16\), то есть \(n\) принимает значения от 4 до 11 включительно.