ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 24.9 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Подберите одну из возможных формул \(n\)-го члена последовательности, первыми членами которой являются числа:

1) \(1, 4, 9, 25, \ldots\);

2) \(5, 8, 11, 14, 17, \ldots\);

3) \(0.5, 8, 11, 14, 17, \ldots\);

4) \(0, 2, 0, 2, 0, \ldots\);

5) \(0, 1, 0, 2, 0, 2, 0, \ldots\);

6) \(2, 0, 2, 0, \ldots\).

1) \(a_n = n^2\)
2) \(a_n = 3n + 2\)
3) \(a_n = \frac{n-1}{n}\)
4) \(a_n = 1 + (-1)^n\)
5) \(a_n = \frac{1 + (-1)^n}{n}\)
6) \(a_n = \frac{1 + (-1)^{n+1}}{n}\)

1) Последовательность: 1, 4, 9, 25, …
Это последовательность квадратов чисел. Первый член 1 равен \(1^2\), второй 4 равен \(2^2\), третий 9 равен \(3^2\), четвертый 25 равен \(5^2\). Здесь пропущен \(4^2 = 16\), но если считать по индексу \(n\), то формула для общего члена будет \(a_n = n^2\).

2) Последовательность: 5, 8, 11, 14, 17, …
Это арифметическая прогрессия с первым членом \(a_1 = 5\) и разностью \(d = 3\). Формула для общего члена арифметической прогрессии: \(a_n = a_1 + (n-1)d\). Подставляем: \(a_n = 5 + (n-1) \cdot 3 = 3n + 2\).

3) Последовательность: 0, \(\frac{1}{2}\), \(\frac{2}{3}\), \(\frac{3}{4}\), \(\frac{4}{5}\), …
Здесь числитель равен \(n-1\), а знаменатель равен \(n\), где \(n\) — номер члена. Значит формула: \(a_n = \frac{n-1}{n}\).

4) Последовательность: 0, 2, 0, 2, 0, …
Это чередование нуля и двойки. Для чётных \(n\) значение равно 2, для нечётных — 0. Можно записать формулу как \(a_n = 1 + (-1)^n\). Проверка: при \(n=1\), \(a_1 = 1 + (-1)^1 = 0\); при \(n=2\), \(a_2 = 1 + 1 = 2\).

5) Последовательность: 0, 1, 0, \(\frac{1}{2}\), 0, \(\frac{1}{3}\), 0, \(\frac{1}{4}\), …
Нули стоят на нечётных местах, а на чётных — дроби \(\frac{1}{k}\), где \(k = \frac{n}{2}\). Формула: \(a_n = \frac{1 + (-1)^n}{n}\). Проверка: при \(n=2\), \(a_2 = \frac{1 + 1}{2} = 1\); при \(n=4\), \(a_4 = \frac{1 + 1}{4} = \frac{1}{2}\).

6) Последовательность: 2, 0, \(\frac{2}{3}\), 0, \(\frac{2}{5}\), 0, \(\frac{2}{7}\), 0, …
Нули на чётных местах, а на нечётных — дроби с числителем 2 и знаменателем нечётных чисел \(1, 3, 5, 7, …\). Для нечётных \(n\) номер элемента в этой подпоследовательности равен \(m = \frac{n+1}{2}\), знаменатель — \(2m — 1\). Формула: \(a_n = \frac{1 + (-1)^{n+1}}{2} \cdot \frac{2}{2m — 1} = \frac{1 + (-1)^{n+1}}{2} \cdot \frac{2}{n}\). Проверка: при \(n=1\), \(a_1 = 1 \cdot \frac{2}{1} = 2\); при \(n=3\), \(a_3 = 1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}\).