ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 25.10 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Является ли последовательность \((a_n)\) арифметической прогрессией, если она задана формулой \(n\)-го члена:

1) \(a_n = -6n + 3\);

2) \(a_n = -2,87\);

3) \(a_n = 2n^2 — n\)?

В случае утвердительного ответа укажите \(a_1\) и разность прогрессии.

1) \(a_n = -6n + 3\)
\(d = a_{n+1} — a_n = [-6(n+1) + 3] — [-6n + 3] = -6n — 6 + 3 + 6n — 3 = -6\)
\(a_1 = -6 \cdot 1 + 3 = -3\)
Ответ: \(a_1 = -3\), \(d = -6\).

2) \(a_n = -2,8n\)
\(d = a_{n+1} — a_n = -2,8(n+1) — (-2,8n) = -2,8n — 2,8 + 2,8n = -2,8\)
\(a_1 = -2,8 \cdot 1 = -2,8\)
Ответ: \(a_1 = -2,8\), \(d = -2,8\).

3) \(a_n = 2n^2 — n\)
\(d = a_{n+1} — a_n = [2(n+1)^2 — (n+1)] — [2n^2 — n]\)
\(= 2(n^2 + 2n + 1) — n — 1 — 2n^2 + n = 2n^2 + 4n + 2 — n — 1 — 2n^2 + n = 4n + 1\)
Ответ: нет.

1) Выражение для \(a_n\) задано как \(a_n = -6n + 3\). Чтобы проверить, является ли эта последовательность арифметической прогрессией, нужно найти разность \(d = a_{n+1} — a_n\).

Вычислим \(a_{n+1}\):
\(a_{n+1} = -6(n+1) + 3 = -6n — 6 + 3 = -6n — 3\).

Теперь найдём разность:
\(d = a_{n+1} — a_n = (-6n — 3) — (-6n + 3) = -6n — 3 + 6n — 3 = -6\).

Разность \(d\) постоянна и равна \(-6\), значит, последовательность является арифметической прогрессией.

Первый член последовательности:
\(a_1 = -6 \cdot 1 + 3 = -3\).

Ответ: \(a_1 = -3\), \(d = -6\).

2) Последовательность задана формулой \(a_n = -2,8n\). Проверим, арифметическая ли она.

Вычислим \(a_{n+1}\):
\(a_{n+1} = -2,8(n+1) = -2,8n — 2,8\).

Разность:
\(d = a_{n+1} — a_n = (-2,8n — 2,8) — (-2,8n) = -2,8\).

Разность \(d\) постоянна и равна \(-2,8\), значит, последовательность — арифметическая прогрессия.

Первый член:
\(a_1 = -2,8 \cdot 1 = -2,8\).

Ответ: \(a_1 = -2,8\), \(d = -2,8\).

3) Последовательность задана формулой \(a_n = 2n^{2} — n\). Проверим, является ли она арифметической прогрессией.

Вычислим \(a_{n+1}\):
\(a_{n+1} = 2(n+1)^{2} — (n+1) = 2(n^{2} + 2n + 1) — n — 1 = 2n^{2} + 4n + 2 — n — 1 = 2n^{2} + 3n + 1\).

Разность:
\(d = a_{n+1} — a_n = (2n^{2} + 3n + 1) — (2n^{2} — n) = 2n^{2} + 3n + 1 — 2n^{2} + n = 4n + 1\).

Разность зависит от \(n\), то есть не постоянна, значит, последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: нет.