ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 25.11 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Является ли последовательность \((a_n)\) арифметической прогрессией, если она задана формулой \(n\)-го члена:

1) \(a_n = 6 + 7n\);

2) \(a_n = \frac{2n — 1}{5}\);

3) \(a_n = \frac{1}{n} + 2\)?

В случае утвердительного ответа укажите \(a_1\) и разность прогрессии.

1) \(a_n = 6 + 7n\)
\(d = a_{n+1} — a_n = (6 + 7(n+1)) — (6 + 7n) = 7n + 7 — 7n = 7\)
\(a_1 = 6 + 7 \cdot 1 = 13\)
Ответ: \(a_1 = 13\), \(d = 7\).

2) \(a_n = \frac{2n — 1}{5}\)
\(d = a_{n+1} — a_n = \frac{2(n+1) — 1}{5} — \frac{2n — 1}{5} = \frac{2n + 2 — 1 — 2n + 1}{5} = \frac{2}{5}\)
\(a_1 = \frac{2 \cdot 1 — 1}{5} = \frac{1}{5}\)
Ответ: \(a_1 = \frac{1}{5}\), \(d = \frac{2}{5}\).

3) \(a_n = \frac{1}{n} + 2\)
\(d = a_{n+1} — a_n = \left(\frac{1}{n+1} + 2\right) — \left(\frac{1}{n} + 2\right) = \frac{1}{n+1} — \frac{1}{n} = \frac{n — (n+1)}{n(n+1)} = -\frac{1}{n(n+1)}\)
Ответ: нет.

1) Рассмотрим последовательность \(a_n = 6 + 7n\). Чтобы понять, является ли она арифметической прогрессией, нужно проверить, постоянна ли разность между соседними членами. Для этого вычислим разность \(d\), которая равна \(a_{n+1} — a_n\). Подставим выражения для членов: \(a_{n+1} = 6 + 7(n+1)\), а \(a_n = 6 + 7n\). Тогда \(d = (6 + 7(n+1)) — (6 + 7n)\). Раскроем скобки: \(6 + 7n + 7 — 6 — 7n\). Упростим выражение, сократив одинаковые слагаемые: \(6 — 6 = 0\), \(7n — 7n = 0\), остается только \(7\). Значит, разность \(d = 7\) постоянна для всех \(n\).

Теперь найдем первый член последовательности \(a_1\). Подставим \(n=1\) в формулу: \(a_1 = 6 + 7 \cdot 1 = 6 + 7 = 13\). Таким образом, первый член равен 13, а разность между соседними членами равна 7. Это доказывает, что последовательность является арифметической прогрессией с параметрами \(a_1 = 13\) и \(d = 7\).

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается прибавлением постоянной разности к предыдущему члену. В нашем случае эта разность равна 7, что и подтверждает правильность наших вычислений.

2) Рассмотрим последовательность \(a_n = \frac{2n — 1}{5}\). Для проверки является ли она арифметической прогрессией, вычислим разность между соседними членами \(d = a_{n+1} — a_n\). Подставим формулы: \(a_{n+1} = \frac{2(n+1) — 1}{5}\), \(a_n = \frac{2n — 1}{5}\). Тогда разность равна \(d = \frac{2(n+1) — 1}{5} — \frac{2n — 1}{5}\). Приведем к общему знаменателю и упростим числитель: \(2n + 2 — 1 — 2n + 1 = 2\). Значит, \(d = \frac{2}{5}\).

Разность постоянна и равна \(\frac{2}{5}\), значит, последовательность является арифметической прогрессией. Теперь найдем первый член \(a_1\), подставив \(n=1\): \(a_1 = \frac{2 \cdot 1 — 1}{5} = \frac{1}{5}\). Таким образом, первый член равен \(\frac{1}{5}\), а разность равна \(\frac{2}{5}\).

Арифметическая прогрессия с такими параметрами означает, что каждый следующий член увеличивается на \(\frac{2}{5}\) по сравнению с предыдущим. Это подтверждает, что последовательность задана правильно и является арифметической прогрессией.

3) Рассмотрим последовательность \(a_n = \frac{1}{n} + 2\). Для проверки, является ли она арифметической прогрессией, найдем разность \(d = a_{n+1} — a_n\). Подставим: \(a_{n+1} = \frac{1}{n+1} + 2\), \(a_n = \frac{1}{n} + 2\). Тогда \(d = \left(\frac{1}{n+1} + 2\right) — \left(\frac{1}{n} + 2\right) = \frac{1}{n+1} — \frac{1}{n}\).

Приведем дроби к общему знаменателю \(n(n+1)\): разность равна \(\frac{n — (n+1)}{n(n+1)} = \frac{n — n — 1}{n(n+1)} = -\frac{1}{n(n+1)}\). Видно, что разность зависит от \(n\), то есть меняется при изменении номера члена.

Поскольку разность не постоянна, а зависит от \(n\), последовательность не является арифметической прогрессией. Арифметическая прогрессия требует постоянной разности, а здесь она меняется для каждого следующего члена. Следовательно, ответ — нет, эта последовательность не является арифметической прогрессией.