ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 25.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Как изменится разность конечной арифметической прогрессии, если переставить её члены в обратном порядке?

Пусть дана арифметическая прогрессия \(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n\).

Разность прогрессии \(d_a = a_2 — a_1\).

Переставим члены в обратном порядке: \(a_n, a_{n-1}, \ldots, a_2, a_1\).

Новая прогрессия: \(b_1 = a_n, b_2 = a_{n-1}, \ldots, b_n = a_1\).

Разность новой прогрессии \(d_b = b_2 — b_1 = a_{n-1} — a_n = a_1 — a_2 = -d_a\).

Ответ: разность изменит знак на противоположный.

1) Пусть дана арифметическая прогрессия с членами \(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n\). Разность этой прогрессии обозначим как \(d_a\). По определению арифметической прогрессии разность между соседними членами постоянна, то есть \(d_a = a_2 — a_1\).

2) Теперь рассмотрим новую последовательность, которая получается перестановкой членов исходной прогрессии в обратном порядке. Эта последовательность будет иметь вид: \(a_n, a_{n-1}, a_{n-2}, \ldots, a_2, a_1\). Обозначим члены новой последовательности как \(b_1 = a_n, b_2 = a_{n-1}, \ldots, b_n = a_1\).

3) Найдём разность новой прогрессии \(d_b\). По определению разности прогрессии это разность между вторым и первым членом новой последовательности, то есть \(d_b = b_2 — b_1 = a_{n-1} — a_n\).

4) Так как исходная последовательность является арифметической, то для любого \(k\) выполняется равенство \(a_{k+1} — a_k = d_a\). Значит, \(a_n = a_1 + (n-1)d_a\) и \(a_{n-1} = a_1 + (n-2)d_a\).

5) Подставим эти выражения в формулу для \(d_b\): \(d_b = a_{n-1} — a_n = \bigl(a_1 + (n-2)d_a\bigr) — \bigl(a_1 + (n-1)d_a\bigr)\).

6) Упростим выражение: \(d_b = a_1 + (n-2)d_a — a_1 — (n-1)d_a = (n-2)d_a — (n-1)d_a = -d_a\).

7) Таким образом, разность новой прогрессии равна \(d_b = -d_a\).

8) Это означает, что при перестановке членов арифметической прогрессии в обратном порядке разность прогрессии меняет знак на противоположный.

9) Итог: если исходная разность равна \(d_a\), то новая разность после перестановки в обратном порядке равна \(d_b = -d_a\).

10) Ответ: разность новой прогрессии равна отрицательному значению исходной разности, то есть \(d_b = -d_a\).