ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 25.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите \(a_1\) и разность арифметической прогрессии \((a_n)\), если:

1) \(a_3 + a_7 = 30\) и \(a_9 + a_{16} = 60\);

2) \(a_4 + a_{10} = 36\) и \(a_5 + a_{11} = 340\).

1) \(a_3 + a_7 = 30\), значит \((a_1 + 2d) + (a_1 + 6d) = 30\), откуда \(2a_1 + 8d = 30\).

\(a_6 + a_{16} = 60\), значит \((a_1 + 5d) + (a_1 + 15d) = 60\), откуда \(2a_1 + 20d = 60\).

Вычитаем первое уравнение из второго: \(12d = 30\), значит \(d = 2.5\).

Подставляем в первое: \(2a_1 + 8 \cdot 2.5 = 30\), значит \(2a_1 + 20 = 30\), откуда \(2a_1 = 10\), значит \(a_1 = 5\).

Ответ: \(a_1 = 5\), \(d = 2.5\).

2) \(a_4 + a_{10} = 36\), значит \((a_1 + 3d) + (a_1 + 9d) = 36\), откуда \(2a_1 + 12d = 36\).

\(a_5 \cdot a_{11} = 340\), значит \((a_1 + 4d)(a_1 + 10d) = 340\).

Из первого уравнения: \(2a_1 = 36 — 12d\), значит \(a_1 = 18 — 6d\).

Подставляем во второе: \((18 — 6d + 4d)(18 — 6d + 10d) = 340\), значит \((18 — 2d)(18 + 4d) = 340\).

Раскрываем скобки: \(324 + 72d — 36d — 8d^2 = 340\), значит \(324 + 36d — 8d^2 = 340\).

Приводим к уравнению: \(8d^2 — 36d + 16 = 0\), делим на 4: \(2d^2 — 9d + 4 = 0\).

Дискриминант: \(D = 9^2 — 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 — 32 = 49\).

Корни: \(d_1 = \frac{9 — 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5\), \(d_2 = \frac{9 + 7}{4} = \frac{16}{4} = 4\).

Для \(d = 0.5\): \(a_1 = 18 — 6 \cdot 0.5 = 15\).

Для \(d = 4\): \(a_1 = 18 — 6 \cdot 4 = -6\).

Ответ: \(a_1 = 15\), \(d = 0.5\) или \(a_1 = -6\), \(d = 4\).

1) Дано: \(a_3 + a_7 = 30\), \(a_6 + a_{16} = 60\).

Формула для \(n\)-го члена арифметической прогрессии: \(a_n = a_1 + (n-1)d\).

Подставляем в первое уравнение:
\(a_3 + a_7 = (a_1 + 2d) + (a_1 + 6d) = 2a_1 + 8d = 30\).

Подставляем во второе уравнение:
\(a_6 + a_{16} = (a_1 + 5d) + (a_1 + 15d) = 2a_1 + 20d = 60\).

Имеем систему уравнений:
\(2a_1 + 8d = 30\)
\(2a_1 + 20d = 60\).

Вычитаем первое уравнение из второго:
\((2a_1 + 20d) — (2a_1 + 8d) = 60 — 30\),
\(12d = 30\),
следовательно, \(d = \frac{30}{12} = 2.5\).

Подставляем \(d = 2.5\) в первое уравнение:
\(2a_1 + 8 \cdot 2.5 = 30\),
\(2a_1 + 20 = 30\),
\(2a_1 = 10\),
\(a_1 = \frac{10}{2} = 5\).

Ответ: \(a_1 = 5\), \(d = 2.5\).

2) Дано: \(a_4 + a_{10} = 36\), \(a_5 \cdot a_{11} = 340\).

Формула для \(n\)-го члена арифметической прогрессии: \(a_n = a_1 + (n-1)d\).

Подставляем в первое уравнение:
\(a_4 + a_{10} = (a_1 + 3d) + (a_1 + 9d) = 2a_1 + 12d = 36\).

Подставляем во второе уравнение:
\(a_5 \cdot a_{11} = (a_1 + 4d)(a_1 + 10d) = 340\).

Из первого уравнения выражаем \(a_1\):
\(2a_1 = 36 — 12d\),
\(a_1 = 18 — 6d\).

Подставляем \(a_1\) во второе уравнение:
\((18 — 6d + 4d)(18 — 6d + 10d) = 340\),
\((18 — 2d)(18 + 4d) = 340\).

Раскрываем скобки:
\(18 \cdot 18 + 18 \cdot 4d — 2d \cdot 18 — 2d \cdot 4d = 340\),
\(324 + 72d — 36d — 8d^{2} = 340\),
\(324 + 36d — 8d^{2} = 340\).

Переносим всё в одну сторону:
\(-8d^{2} + 36d + 324 — 340 = 0\),
\(-8d^{2} + 36d — 16 = 0\).

Умножаем на \(-1\):
\(8d^{2} — 36d + 16 = 0\).

Делим на 4 для упрощения:
\(2d^{2} — 9d + 4 = 0\).

Вычисляем дискриминант:
\(D = (-9)^{2} — 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 — 32 = 49\).

Находим корни:
\(d_1 = \frac{9 — 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = 0.5\),
\(d_2 = \frac{9 + 7}{4} = \frac{16}{4} = 4\).

Находим \(a_1\) для каждого корня:

При \(d = 0.5\):
\(a_1 = 18 — 6 \cdot 0.5 = 18 — 3 = 15\).

При \(d = 4\):
\(a_1 = 18 — 6 \cdot 4 = 18 — 24 = -6\).

Ответ: \(a_1 = 15\), \(d = 0.5\) или \(a_1 = -6\), \(d = 4\).