ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 25.19 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите \(a_1\) и разность арифметической прогрессии \((a_n)\), если:

1) \(a_3 + a_{12} = 41\) и \(a_{10} + a_{14} = 62\);

2) \(a_7 + a_{13} = -104\) и \(a_2 + a_6 = -240\).

1) \(a_5 + a_{12} = 41\), \(a_{10} + a_{14} = 62\)

\(a_5 = a_1 + 4d\), \(a_{12} = a_1 + 11d\)

\(a_{10} = a_1 + 9d\), \(a_{14} = a_1 + 13d\)

Первое уравнение:
\((a_1 + 4d) + (a_1 + 11d) = 41\)
\(2a_1 + 15d = 41\)

Второе уравнение:
\((a_1 + 9d) + (a_1 + 13d) = 62\)
\(2a_1 + 22d = 62\)

Вычитаем первое уравнение из второго:
\(2a_1 + 22d — (2a_1 + 15d) = 62 — 41\)
\(7d = 21\)
\(d = 3\)

Подставляем \(d\) в первое уравнение:
\(2a_1 + 15 \cdot 3 = 41\)
\(2a_1 + 45 = 41\)
\(2a_1 = -4\)
\(a_1 = -2\)

Ответ: \(a_1 = -2\), \(d = 3\)

2) \(a_7 + a_{13} = -104\), \(a_2 \cdot a_6 = -240\)

\(a_7 = a_1 + 6d\), \(a_{13} = a_1 + 12d\)

\(a_2 = a_1 + d\), \(a_6 = a_1 + 5d\)

Первое уравнение:
\((a_1 + 6d) + (a_1 + 12d) = -104\)
\(2a_1 + 18d = -104\)
\(a_1 = -52 — 9d\)

Второе уравнение:
\((a_1 + d)(a_1 + 5d) = -240\)
Подставляем \(a_1\):
\((-52 — 9d + d)(-52 — 9d + 5d) = -240\)
\((-52 — 8d)(-52 — 4d) = -240\)

Раскрываем скобки:
\(2704 + 208d + 416d + 32d^2 = -240\)
\(32d^2 + 624d + 2704 = -240\)
\(32d^2 + 624d + 2944 = 0\)

Делим на 16:
\(2d^2 + 39d + 184 = 0\)

Дискриминант:
\(D = 39^2 — 4 \cdot 2 \cdot 184 = 1521 — 1472 = 49\)

Корни:
\(d_1 = \frac{-39 — 7}{4} = -11.5\)
\(d_2 = \frac{-39 + 7}{4} = -8\)

Для \(d_1 = -11.5\):
\(a_1 = -52 — 9 \cdot (-11.5) = 51.5\)

Для \(d_2 = -8\):
\(a_1 = -52 — 9 \cdot (-8) = 20\)

Ответ: \(a_1 = 51.5, d = -11.5\) или \(a_1 = 20, d = -8\)

1) Дано: \(a_5 + a_{12} = 41\), \(a_{10} + a_{14} = 62\).

Общий член арифметической прогрессии выражается формулой \(a_n = a_1 + (n-1)d\).

Подставим в первое уравнение:
\(a_5 = a_1 + 4d\), \(a_{12} = a_1 + 11d\), тогда
\((a_1 + 4d) + (a_1 + 11d) = 41\),
что даёт
\(2a_1 + 15d = 41\).

Подставим во второе уравнение:
\(a_{10} = a_1 + 9d\), \(a_{14} = a_1 + 13d\), тогда
\((a_1 + 9d) + (a_1 + 13d) = 62\),
что даёт
\(2a_1 + 22d = 62\).

Вычитаем первое уравнение из второго:
\((2a_1 + 22d) — (2a_1 + 15d) = 62 — 41\),
получаем
\(7d = 21\),
откуда
\(d = 3\).

Подставляем найденное \(d\) в первое уравнение:
\(2a_1 + 15 \cdot 3 = 41\),
\(2a_1 + 45 = 41\),
\(2a_1 = -4\),
\(a_1 = -2\).

Ответ: \(a_1 = -2\), \(d = 3\).

2) Дано: \(a_7 + a_{13} = -104\), \(a_2 \cdot a_6 = -240\).

Подставим формулы:
\(a_7 = a_1 + 6d\), \(a_{13} = a_1 + 12d\),
тогда
\((a_1 + 6d) + (a_1 + 12d) = -104\),
что даёт
\(2a_1 + 18d = -104\).

Выразим \(a_1\):
\(a_1 = \frac{-104 — 18d}{2} = -52 — 9d\).

Подставим в произведение:
\(a_2 = a_1 + d\), \(a_6 = a_1 + 5d\),
значит
\((a_1 + d)(a_1 + 5d) = -240\).

Подставляем \(a_1\):
\((-52 — 9d + d)(-52 — 9d + 5d) = -240\),
упрощаем:
\((-52 — 8d)(-52 — 4d) = -240\).

Раскрываем скобки:
\((-52)(-52) + (-52)(-4d) + (-8d)(-52) + (-8d)(-4d) =\)

\(= 2704 + 208d + 416d + 32d^{2}\).

Суммируем:
\(2704 + 624d + 32d^{2} = -240\).

Переносим всё в левую часть:
\(32d^{2} + 624d + 2704 + 240 = 0\),
\(32d^{2} + 624d + 2944 = 0\).

Делим на 16 для упрощения:
\(2d^{2} + 39d + 184 = 0\).

Вычисляем дискриминант:
\(D = 39^{2} — 4 \cdot 2 \cdot 184 = 1521 — 1472 = 49\).

Находим корни:
\(d = \frac{-39 \pm 7}{4}\).

Первый корень:
\(d_1 = \frac{-39 — 7}{4} = \frac{-46}{4} = -11.5\).

Второй корень:
\(d_2 = \frac{-39 + 7}{4} = \frac{-32}{4} = -8\).

Находим \(a_1\) для каждого корня:

Для \(d_1 = -11.5\):
\(a_1 = -52 — 9 \cdot (-11.5) = -52 + 103.5 = 51.5\).

Для \(d_2 = -8\):
\(a_1 = -52 — 9 \cdot (-8) = -52 + 72 = 20\).

Ответ: \(a_1 = 51.5, d = -11.5\) или \(a_1 = 20, d = -8\).