ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 25.20 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

В каких случаях для членов арифметической прогрессии выполняется равенство \(a_4 a_4 = a_2^2\)?

Для арифметической прогрессии \(a_n = a_1 + (n-1)d\) дано равенство \(a_1 a_4 = a_2^2\).

Подставим: \(a_4 = a_1 + 3d\), \(a_2 = a_1 + d\).

Тогда \(a_1 (a_1 + 3d) = (a_1 + d)^2\).

Раскроем скобки: \(a_1^2 + 3 a_1 d = a_1^2 + 2 a_1 d + d^2\).

Вычтем \(a_1^2\): \(3 a_1 d = 2 a_1 d + d^2\).

Перенесём: \(3 a_1 d — 2 a_1 d — d^2 = 0\).

Получим: \(a_1 d — d^2 = 0\).

Вынесем \(d\): \(d (a_1 — d) = 0\).

Значит \(d = 0\) или \(d = a_1\).

Рассмотрим арифметическую прогрессию, у которой первый член обозначим \(a_1\), а разность прогрессии — \(d\). По определению, любой член прогрессии можно выразить через первый член и разность по формуле \(a_n = a_1 + (n-1)d\). Это значит, что для четвёртого члена прогрессии будет справедливо равенство \(a_4 = a_1 + 3d\), а для второго — \(a_2 = a_1 + d\). Эти выражения важны, потому что они позволяют нам подставить конкретные члены прогрессии в заданное уравнение.

По условию задачи, произведение первого и четвёртого членов равно квадрату второго члена: \(a_1 a_4 = a_2^2\). Подставим в это равенство выражения для \(a_4\) и \(a_2\), получим уравнение \(a_1 (a_1 + 3d) = (a_1 + d)^2\). Теперь раскроем скобки слева и справа. Слева: \(a_1^2 + 3 a_1 d\), справа: \(a_1^2 + 2 a_1 d + d^2\). Это уравнение показывает взаимосвязь между первым членом и разностью прогрессии при выполнении данного условия.

Далее упростим уравнение, вычтя \(a_1^2\) с обеих сторон: \(3 a_1 d = 2 a_1 d + d^2\). Перенесём все слагаемые в одну сторону, чтобы получить равенство к нулю: \(3 a_1 d — 2 a_1 d — d^2 = 0\), что упрощается до \(a_1 d — d^2 = 0\). Вынесем общий множитель \(d\) за скобки: \(d (a_1 — d) = 0\). Это произведение равно нулю, значит хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, либо \(d = 0\), что означает, что прогрессия постоянна, либо \(d = a_1\), то есть разность равна первому члену прогрессии. Таким образом, мы нашли два возможных варианта для параметров арифметической прогрессии, при которых выполняется заданное равенство.