ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 25.21 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что значения выражений \((a + b)^2\), \(a^2 + 2\), \((a — b)^2\) являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Дана последовательность выражений: \((a + b)^2, a^2 + b^2, (a — b)^2\).

Проверим, является ли она арифметической прогрессией. Для этого проверим равенство:

\(a^2 + b^2 = \frac{(a + b)^2 + (a — b)^2}{2}\).

Раскроем скобки:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\),

\((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\).

Сложим:

\((a + b)^2 + (a — b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 — 2ab + b^2) = 2a^2 + 2b^2\).

Поделим на 2:

\(\frac{(a + b)^2 + (a — b)^2}{2} = \frac{2a^2 + 2b^2}{2} = a^2 + b^2\).

Получили равенство, значит выражения идут в арифметической прогрессии.

Что и требовалось доказать.

1. Рассмотрим три выражения: \((a + b)^2\), \(a^2 + b^2\), \((a — b)^2\).

2. Нужно проверить, являются ли эти три выражения членами арифметической прогрессии. Для этого проверим равенство: средний член равен среднему арифметическому двух соседних, то есть

\(a^2 + b^2 = \frac{(a + b)^2 + (a — b)^2}{2}\).

3. Раскроем скобки в выражениях:

\((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\),

\((a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\).

4. Сложим два раскрытых выражения:

\((a + b)^2 + (a — b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 — 2ab + b^2)\).

5. Упростим сумму, сложив похожие члены:

\(a^2 + 2ab + b^2 + a^2 — 2ab + b^2 = a^2 + a^2 + 2ab — 2ab + b^2 + b^2 = 2a^2 + 2b^2\).

6. Подставим полученную сумму в дробь:

\(\frac{(a + b)^2 + (a — b)^2}{2} = \frac{2a^2 + 2b^2}{2}\).

7. Сократим дробь:

\(\frac{2a^2 + 2b^2}{2} = a^2 + b^2\).

8. Получили равенство:

\(a^2 + b^2 = \frac{(a + b)^2 + (a — b)^2}{2}\).

9. Это означает, что средний член равен среднему арифметическому двух соседних, то есть выражения \((a + b)^2\), \(a^2 + b^2\), \((a — b)^2\) образуют арифметическую прогрессию.

10. Таким образом, доказано, что данные выражения являются членами арифметической прогрессии.