ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 25.22 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Дана конечная арифметическая прогрессия \((a_1, a_2, \ldots, a_n)\). Докажите, что \(a_k + a_{n-k+1} = a_1 + a_n\), \(k \leq n\).

Дана арифметическая прогрессия \(a_1, a_2, …, a_n\).

Докажем равенство \(a_k + a_{n-k+1} = a_1 + a_n\), где \(k \leq n\).

По определению арифметической прогрессии:

\(a_k = a_1 + d(k-1)\),

\(a_{n-k+1} = a_1 + d(n-k)\).

Сложим:

\(a_k + a_{n-k+1} = (a_1 + d(k-1)) + (a_1 + d(n-k)) = 2a_1 + d(k-1) + d(n-k)\).

Упростим:

\(d(k-1) + d(n-k) = d(n-1)\),

следовательно,

\(a_k + a_{n-k+1} = 2a_1 + d(n-1) = a_1 + (a_1 + d(n-1)) = a_1 + a_n\).

Что и требовалось доказать.

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается прибавлением одного и того же числа, называемого разностью, к предыдущему члену. Обозначим первый член прогрессии через \(a_1\), а разность через \(d\). Тогда любой член прогрессии с номером \(k\) можно записать по формуле \(a_k = a_1 + d(k-1)\). Эта формула показывает, что для вычисления \(k\)-го члена нам нужно знать первый член и сколько раз мы прибавили разность \(d\), умноженную на количество шагов \(k-1\).

Рассмотрим теперь член прогрессии с номером \(n-k+1\). Чтобы найти его значение, мы используем ту же формулу, подставляя вместо \(k\) число \(n-k+1\): \(a_{n-k+1} = a_1 + d((n-k+1)-1) = a_1 + d(n-k)\). Это значит, что этот член равен первому члену плюс разность, умноженная на количество шагов от первого члена до позиции \(n-k+1\). Таким образом, мы получили два выражения для членов прогрессии: \(a_k = a_1 + d(k-1)\) и \(a_{n-k+1} = a_1 + d(n-k)\).

Теперь сложим эти два члена: \(a_k + a_{n-k+1} = (a_1 + d(k-1)) + (a_1 + d(n-k))\). Раскроем скобки и соберём похожие слагаемые: \(a_k + a_{n-k+1} = 2a_1 + d(k-1) + d(n-k)\). Обратим внимание на сумму слагаемых с разностью: \(d(k-1) + d(n-k) = d(k-1 + n — k) = d(n-1)\). Подставим это обратно, получим \(a_k + a_{n-k+1} = 2a_1 + d(n-1)\).

Заметим, что последний член прогрессии \(a_n\) равен \(a_n = a_1 + d(n-1)\). Значит, выражение \(2a_1 + d(n-1)\) можно переписать как \(a_1 + (a_1 + d(n-1))\), что равняется \(a_1 + a_n\). Следовательно, для любого \(k\), где \(1 \leq k \leq n\), верно равенство \(a_k + a_{n-k+1} = a_1 + a_n\). Это доказывает, что сумма членов прогрессии, стоящих на одинаковом расстоянии от начала и конца, всегда равна сумме первого и последнего члена.