ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 25.23 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что для арифметической прогрессии \((a_n)\) справедливо равенство \(a_n + a_m = a_{n+m}\), \(n > m\).

Дана арифметическая прогрессия с первым членом \(a_1\) и разностью \(d\).

Докажем равенство \(a_n + a_k = a_{n-m} + a_{k+m}\), где \(n > m\).

Запишем члены прогрессии:
\(a_n = a_1 + d(n-1)\),
\(a_k = a_1 + d(k-1)\),
\(a_{n-m} = a_1 + d(n-m-1)\),
\(a_{k+m} = a_1 + d(k+m-1)\).

Посчитаем левую часть:
\(a_n + a_k = (a_1 + d(n-1)) + (a_1 + d(k-1)) = 2a_1 + d(n-1) + d(k-1) =\)
\(= 2a_1 + d(n + k — 2)\).

Посчитаем правую часть:
\(a_{n-m} + a_{k+m} = (a_1 + d(n-m-1)) + (a_1 + d(k+m-1)) = 2a_1 + d(n-m-1) + d(k+m-1) =\)
\(= 2a_1 + d(n + k — 2)\).

Левая и правая части равны, значит равенство доказано. Что и требовалось доказать.

1. Рассмотрим арифметическую прогрессию — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается прибавлением постоянного числа, называемого разностью, к предыдущему члену. Обозначим первый член прогрессии как \(a_1\), а разность как \(d\). Тогда любой член прогрессии под номером \(n\) можно выразить формулой \(a_n = a_1 + d(n-1)\). Эта формула говорит нам, что чтобы найти \(n\)-й член, нужно к первому члену прибавить разность, умноженную на количество шагов от первого члена до \(n\)-го, то есть на \(n-1\).

2. Теперь нам нужно доказать равенство \(a_n + a_k = a_{n-m} + a_{k+m}\), где \(n\), \(k\), \(m\) — натуральные числа, и \(n > m\). Для этого сначала выпишем левую часть равенства, подставив формулу для каждого члена: \(a_n = a_1 + d(n-1)\) и \(a_k = a_1 + d(k-1)\). Складываем их: \(a_n + a_k = (a_1 + d(n-1)) + (a_1 + d(k-1))\). Раскроем скобки и соберём подобные: \(a_n + a_k = a_1 + a_1 + d(n-1) + d(k-1) = 2a_1 + d(n-1) + d(k-1)\). Поскольку \(d\) — общее множитель, можно записать сумму как \(d((n-1) + (k-1)) = d(n + k — 2)\). Значит левая часть равна \(2a_1 + d(n + k — 2)\).

3. Аналогично рассмотрим правую часть равенства: \(a_{n-m} + a_{k+m}\). Подставим формулу для каждого члена: \(a_{n-m} = a_1 + d(n-m-1)\) и \(a_{k+m} = a_1 + d(k+m-1)\). Складываем: \(a_{n-m} + a_{k+m} = (a_1 + d(n-m-1)) + (a_1 + d(k+m-1))\). Раскрываем скобки и складываем: \(2a_1 + d(n-m-1) + d(k+m-1)\). Сложим выражения внутри скобок: \((n-m-1) + (k+m-1) = n + k — 2\). Значит правая часть равна \(2a_1 + d(n + k — 2)\), что совпадает с левой частью.

4. Таким образом, мы видим, что обе части равенства выражаются одной и той же формулой \(2a_1 + d(n + k — 2)\). Это значит, что исходное равенство \(a_n + a_k = a_{n-m} + a_{k+m}\) верно для любых значений \(n\), \(k\), \(m\) при условии, что \(n > m\). Доказательство основано на свойстве арифметической прогрессии, где каждый член зависит линейно от номера, а сумма членов с определёнными номерами сохраняет равенство при сдвиге индексов.

5. В итоге, мы убедились, что арифметическая прогрессия обладает симметричным свойством суммы членов: сумма двух членов с номерами \(n\) и \(k\) равна сумме двух других членов с номерами, сдвинутыми на \(m\) в противоположные стороны, если сумма индексов остаётся неизменной. Это свойство полезно для решения задач, связанных с арифметическими прогрессиями, и позволяет упростить вычисления, заменяя сложные индексы на более удобные.