ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 25.27 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Из арифметической прогрессии исключили члены с нечётными номерами. Образуют ли оставшиеся члены арифметическую прогрессию?

Пусть дана арифметическая прогрессия \(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, a_{n+1}, \ldots\).

Уберём члены с нечётными номерами: \(a_2, a_4, a_6, \ldots, a_{2n-2}, a_{2n}, a_{2n+2}, \ldots\).

Проверим, образуют ли они арифметическую прогрессию. Для этого надо проверить, что
\(a_{2n} = \frac{a_{2n-2} + a_{2n+2}}{2}\).

В арифметической прогрессии
\(a_k = a_1 + (k-1)d\), тогда

\(a_{2n} = a_1 + (2n-1)d\),

\(a_{2n-2} = a_1 + (2n-3)d\),

\(a_{2n+2} = a_1 + (2n+1)d\).

Подставим в формулу:
\[
\frac{a_{2n-2} + a_{2n+2}}{2} = \frac{(a_1 + (2n-3)d) + (a_1 + (2n+1)d)}{2} = \frac{2a_1 + (4n — 2)d}{2} = a_1 + (2n-1)d
\]

Это равно \(a_{2n}\), значит оставшиеся члены образуют арифметическую прогрессию.

Ответ: да.

1. Пусть дана арифметическая прогрессия с членами \(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, a_{n+1}, \ldots\). Каждый член прогрессии выражается формулой \(a_k = a_1 + (k-1)d\), где \(d\) — разность прогрессии.

2. Уберём из последовательности все члены с нечётными номерами. Тогда останутся члены с чётными номерами: \(a_2, a_4, a_6, \ldots, a_{2n-2}, a_{2n}, a_{2n+2}, \ldots\).

3. Чтобы проверить, образуют ли оставшиеся члены арифметическую прогрессию, нужно проверить, что каждый следующий член равен среднему арифметическому соседних. То есть проверить, что выполняется равенство \(a_{2n} = \frac{a_{2n-2} + a_{2n+2}}{2}\).

4. Подставим в это равенство формулы для членов исходной прогрессии:
\(a_{2n} = a_1 + (2n — 1)d\),
\(a_{2n-2} = a_1 + (2n — 3)d\),
\(a_{2n+2} = a_1 + (2n + 1)d\).

5. Найдём среднее арифметическое соседних членов:
\(\frac{a_{2n-2} + a_{2n+2}}{2} = \frac{(a_1 + (2n — 3)d) + (a_1 + (2n + 1)d)}{2} = \frac{2a_1 + (4n — 2)d}{2} = a_1 + (2n — 1)d\).

6. Полученное выражение совпадает с \(a_{2n}\), то есть условие для арифметической прогрессии выполнено.

7. Значит, последовательность с чётными номерами \(a_2, a_4, a_6, \ldots\) также образует арифметическую прогрессию.

8. Разность этой новой прогрессии равна \(2d\), так как между соседними членами с чётными номерами разница индексов равна 2.

9. Следовательно, оставшиеся члены после удаления нечётных номеров — это арифметическая прогрессия с первым членом \(a_2 = a_1 + d\) и разностью \(2d\).

10. Ответ: да, оставшиеся члены образуют арифметическую прогрессию.