ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 25.28 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Даны две бесконечные арифметические прогрессии. Если из каждого члена одной прогрессии вычесть соответствующий член другой, то будет ли полученная последовательность арифметической прогрессией?

Пусть даны арифметические прогрессии \(a_1; a_2; \ldots; a_n; \ldots\) и \(b_1; b_2; \ldots; b_n; \ldots\).

Разности прогрессий: \(d_a = a_n — a_{n-1}\), \(d_b = b_n — b_{n-1}\).

Вычтем вторую прогрессию из первой: \(c_n = a_n — b_n\).

Разность новой прогрессии:
\(d_c = c_n — c_{n-1} = (a_n — b_n) — (a_{n-1} — b_{n-1}) = (a_n — a_{n-1}) — (b_n — b_{n-1}) =\)
\(= d_a — d_b\).

Ответ: да.

1. Пусть даны две арифметические прогрессии: \(a_1, a_2, \ldots, a_n, \ldots\) и \(b_1, b_2, \ldots, b_n, \ldots\).

2. По определению арифметической прогрессии, разность между соседними членами постоянна. Для первой прогрессии это разность \(d_a = a_n — a_{n-1}\), для второй — \(d_b = b_n — b_{n-1}\).

3. Рассмотрим новую последовательность, которая получается вычитанием членов второй прогрессии из соответствующих членов первой: \(c_n = a_n — b_n\).

4. Проверим, является ли последовательность \(c_n\) арифметической прогрессией. Для этого найдём разность между её соседними членами: \(d_c = c_n — c_{n-1}\).

5. Подставим выражения для \(c_n\) и \(c_{n-1}\): \(d_c = (a_n — b_n) — (a_{n-1} — b_{n-1})\).

6. Раскроем скобки: \(d_c = a_n — b_n — a_{n-1} + b_{n-1}\).

7. Перегруппируем слагаемые: \(d_c = (a_n — a_{n-1}) — (b_n — b_{n-1})\).

8. Подставим известные разности: \(d_c = d_a — d_b\).

9. Поскольку \(d_a\) и \(d_b\) — постоянные величины, то и \(d_c\) — постоянная величина.

10. Следовательно, последовательность \(c_n\) является арифметической прогрессией с разностью \(d_c = d_a — d_b\).

Ответ: да.