ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 25.29 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Если из арифметической прогрессии, разность которой не равна нулю, исключить её члены, номера которых кратны 3, то будет ли полученная последовательность арифметической прогрессией?

Пусть дана арифметическая прогрессия с разностью \(d \neq 0\): \(a_1, a_2, a_3, \ldots\)

Уберём члены с номерами, кратными 3: останутся \(a_1, a_2, a_4, a_5, a_7, a_8, \ldots\)

Проверим, арифметическая ли это прогрессия. Для этого проверим равенство

\(a_{3n-1} = \frac{a_{3n-2} + a_{3n+1}}{2}\).

Подставим формулы:

\(a_{3n-1} = a_1 + (3n — 2)d\),

\(a_{3n-2} = a_1 + (3n — 3)d\),

\(a_{3n+1} = a_1 + 3n d\).

Тогда

\(a_1 + (3n — 2)d = \frac{(a_1 + (3n — 3)d) + (a_1 + 3n d)}{2} = a_1 + \frac{(6n — 3)d}{2} = a_1 + (3n — \frac{3}{2}) d\).

Приравняем:

\(a_1 + (3n — 2)d = a_1 + (3n — \frac{3}{2}) d\)

\((3n — 2)d = (3n — \frac{3}{2}) d\)

\(-2 = -\frac{3}{2}\) — неверно.

Значит \(d = 0\), что противоречит условию.

Ответ: нет.

Рассмотрим арифметическую прогрессию с первым членом \(a_1\) и разностью \(d \neq 0\). По определению, каждый член прогрессии можно выразить формулой \(a_n = a_1 + (n-1)d\), где \(n\) — номер члена. Это означает, что последовательность строится так, что каждый следующий элемент получается прибавлением постоянного числа \(d\) к предыдущему. Такая структура позволяет легко вычислять любой член прогрессии по его номеру.

Теперь предположим, что из этой прогрессии мы удалили все члены, номера которых кратны 3, то есть убрали члены с номерами 3, 6, 9 и так далее. После удаления остаются члены с номерами \(1, 2, 4, 5, 7, 8, \ldots\). Важно понять, образует ли оставшаяся последовательность арифметическую прогрессию. Для этого нужно проверить, существует ли постоянная разность между соседними членами новой последовательности.

Для проверки возьмём три подряд идущих члена новой последовательности, обозначим их как \(a_{3n-2}\), \(a_{3n-1}\), и \(a_{3n+1}\), где \(n\) — натуральное число. Если новая последовательность является арифметической прогрессией, то разность между соседними членами должна быть постоянной. Это эквивалентно условию, что средний член равен среднему арифметическому соседних, то есть \(a_{3n-1} = \frac{a_{3n-2} + a_{3n+1}}{2}\).

Подставим в это равенство выражения для членов исходной прогрессии: \(a_{3n-1} = a_1 + (3n — 2)d\), \(a_{3n-2} = a_1 + (3n — 3)d\), \(a_{3n+1} = a_1 + 3n d\). Тогда уравнение принимает вид \(a_1 + (3n — 2)d = \frac{(a_1 + (3n — 3)d) + (a_1 + 3n d)}{2}\). Упростим правую часть: \(\frac{2a_1 + (6n — 3)d}{2} = a_1 + \frac{(6n — 3)d}{2} = a_1 + (3n — \frac{3}{2}) d\).

Сравним левую и правую части уравнения: \(a_1 + (3n — 2)d = a_1 + (3n — \frac{3}{2}) d\). Уберём одинаковый член \(a_1\) и получим равенство \((3n — 2)d = (3n — \frac{3}{2}) d\). Так как \(d \neq 0\), можно сократить на \(d\), и останется \(3n — 2 = 3n — \frac{3}{2}\). Это равенство невозможно, так как \(-2 \neq -\frac{3}{2}\). Следовательно, условие для арифметической прогрессии не выполняется.

Таким образом, после удаления из исходной арифметической прогрессии всех членов с номерами, кратными 3, оставшаяся последовательность не является арифметической прогрессией. Это происходит потому, что равномерность разности между соседними членами нарушается, и постоянная разность исчезает. Следовательно, новая последовательность не обладает свойствами арифметической прогрессии.