ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 25.30 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Каждый член арифметической прогрессии умножили на 4. Будет ли полученная последовательность арифметической прогрессией?

Пусть дана арифметическая прогрессия \(a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots\) с разностью \(d\), тогда \(a_n = a_1 + d(n-1)\).

Умножим каждый член на 4: \(4a_1, 4a_2, 4a_3, \ldots, 4a_n, \ldots\).

Проверим, будет ли новая последовательность арифметической прогрессией:

\(4a_n = \frac{4a_{n-1} + 4a_{n+1}}{2}\).

Подставим:

\(8(a_1 + d(n-1)) = 4(a_1 + d(n-2)) + 4(a_1 + d n)\).

Раскроем скобки:

\(8a_1 + 8d n — 8d = 4a_1 + 4d n — 8d + 4a_1 + 4d n\).

Сложим правую часть:

\(8a_1 + 8d n — 8d = 8a_1 + 8d n — 8d\).

Ответ: да.

1. Пусть дана арифметическая прогрессия с первым членом \(a_1\) и разностью \(d\). Тогда любой её член можно записать как \(a_n = a_1 + d(n-1)\).

2. Умножим каждый член прогрессии на 4. Получим новую последовательность: \(4a_1, 4a_2, 4a_3, \ldots, 4a_n, \ldots\).

3. Проверим, является ли новая последовательность арифметической прогрессией. Для этого нужно проверить, что любой член равен среднему арифметическому соседних членов, то есть проверить равенство \(4a_n = \frac{4a_{n-1} + 4a_{n+1}}{2}\).

4. Подставим выражения для членов исходной прогрессии: \(4a_n = 4(a_1 + d(n-1))\), \(4a_{n-1} = 4(a_1 + d(n-2))\), \(4a_{n+1} = 4(a_1 + d n)\).

5. Запишем проверяемое равенство: \(4(a_1 + d(n-1)) = \frac{4(a_1 + d(n-2)) + 4(a_1 + d n)}{2}\).

6. Упростим правую часть: \(\frac{4a_1 + 4d(n-2) + 4a_1 + 4d n}{2} = \frac{8a_1 + 4d(2n — 2)}{2}\).

7. Продолжим упрощение: \(\frac{8a_1 + 4d(2n — 2)}{2} = 4a_1 + 2d(2n — 2) = 4a_1 + 4d(n-1)\).

8. Левая часть равенства равна: \(4(a_1 + d(n-1)) = 4a_1 + 4d(n-1)\).

9. Таким образом, левая и правая части равны: \(4a_1 + 4d(n-1) = 4a_1 + 4d(n-1)\).

10. Следовательно, новая последовательность \(4a_1, 4a_2, 4a_3, \ldots\) является арифметической прогрессией с первым членом \(4a_1\) и разностью \(4d\).