ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 25.31 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что числа, равные соответственно суммам углов треугольника, четырёхугольника, пятиугольника и т. д., образуют арифметическую прогрессию.

Пусть \(a_n = (n-2) \cdot 180^\circ\) — сумма углов выпуклого \(n\)-угольника. Нужно проверить, что \(a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\).

Подставим:

\(a_n = (n-2) \cdot 180^\circ\),

\(a_{n-1} = (n-1-2) \cdot 180^\circ = (n-3) \cdot 180^\circ\),

\(a_{n+1} = (n+1-2) \cdot 180^\circ = (n-1) \cdot 180^\circ\).

Тогда:

\[
(n-2) \cdot 180^\circ = \frac{(n-3) \cdot 180^\circ + (n-1) \cdot 180^\circ}{2}
\]

Вынесем \(180^\circ\):

\[
(n-2) \cdot 180^\circ = \frac{(n-3) + (n-1)}{2} \cdot 180^\circ
\]

Сложим в числителе:

\[
(n-3) + (n-1) = 2n — 4
\]

Тогда:

\[
(n-2) \cdot 180^\circ = \frac{2n — 4}{2} \cdot 180^\circ = (n-2) \cdot 180^\circ
\]

Что и требовалось доказать.

1. Пусть \(a_n\) — сумма углов выпуклого \(n\)-угольника. Известно, что сумма внутренних углов любого \(n\)-угольника равна \(a_n = (n-2) \cdot 180^\circ\).

2. Нужно доказать, что последовательность \(a_3, a_4, a_5, \ldots\) является арифметической прогрессией. Это значит, что для любого \(n\) должно выполняться равенство \(a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\).

3. Запишем выражения для соседних членов последовательности:
\(a_{n-1} = (n-1-2) \cdot 180^\circ = (n-3) \cdot 180^\circ\),
\(a_n = (n-2) \cdot 180^\circ\),
\(a_{n+1} = (n+1-2) \cdot 180^\circ = (n-1) \cdot 180^\circ\).

4. Подставим эти выражения в условие арифметической прогрессии:
\((n-2) \cdot 180^\circ = \frac{(n-3) \cdot 180^\circ + (n-1) \cdot 180^\circ}{2}\).

5. Вынесем общий множитель \(180^\circ\) за скобки:
\((n-2) \cdot 180^\circ = \frac{(n-3) + (n-1)}{2} \cdot 180^\circ\).

6. Сложим числа в числителе дроби:
\((n-3) + (n-1) = 2n — 4\).

7. Подставим обратно:
\((n-2) \cdot 180^\circ = \frac{2n — 4}{2} \cdot 180^\circ\).

8. Упростим дробь:
\(\frac{2n — 4}{2} = n — 2\).

9. Тогда равенство принимает вид:
\((n-2) \cdot 180^\circ = (n-2) \cdot 180^\circ\).

10. Получили верное равенство, значит последовательность \(a_n\) является арифметической прогрессией.