ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 25.32 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каком значении \(x\) значения выражений \(x^2 — 4\), \(5x + 3\) и \(3x + 2\) являются последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Дано: \(a_1 = x^2 — 4\), \(a_2 = 5x + 3\), \(a_3 = 3x + 2\).

Условие арифметической прогрессии: \(a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}\).

Подставляем: \(5x + 3 = \frac{(x^2 — 4) + (3x + 2)}{2}\).

Умножаем на 2: \(2(5x + 3) = x^2 — 4 + 3x + 2\).

Раскрываем скобки: \(10x + 6 = x^2 + 3x — 2\).

Переносим всё в левую часть: \(0 = x^2 + 3x — 2 — 10x — 6\).

Сокращаем: \(x^2 — 7x — 8 = 0\).

Вычисляем дискриминант: \(D = 7^2 + 4 \cdot 8 = 49 + 32 = 81\).

Находим корни: \(x_1 = \frac{7 — 9}{2} = -1\), \(x_2 = \frac{7 + 9}{2} = 8\).

Если \(x = -1\), то:
\(a_1 = (-1)^2 — 4 = 1 — 4 = -3\),
\(a_2 = 5 \cdot (-1) + 3 = -5 + 3 = -2\),
\(a_3 = 3 \cdot (-1) + 2 = -3 + 2 = -1\).

Если \(x = 8\), то:
\(a_1 = 8^2 — 4 = 64 — 4 = 60\),
\(a_2 = 5 \cdot 8 + 3 = 40 + 3 = 43\),
\(a_3 = 3 \cdot 8 + 2 = 24 + 2 = 26\).

Ответ: если \(x = -1\), то прогрессия \(-3, -2, -1\); если \(x = 8\), то прогрессия \(60, 43, 26\).

1. В задаче даны три выражения, которые представляют собой три последовательных члена арифметической прогрессии: \(a_1 = x^2 — 4\), \(a_2 = 5x + 3\), \(a_3 = 3x + 2\). Арифметическая прогрессия — это такая последовательность чисел, в которой разность между соседними членами постоянна. В частности, средний член арифметической прогрессии равен среднему арифметическому двух соседних членов. Это означает, что \(a_2\) должно быть равно половине суммы \(a_1\) и \(a_3\). Это ключевое свойство используется для составления уравнения.

2. Запишем условие арифметической прогрессии в виде уравнения: \(a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}\). Подставим в него данные выражения: \(5x + 3 = \frac{(x^2 — 4) + (3x + 2)}{2}\). Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части уравнения на 2, получим: \(2(5x + 3) = x^2 — 4 + 3x + 2\). Теперь раскроем скобки слева, получается \(10x + 6\), а справа упрощаем сумму: \(x^2 + 3x — 2\). Таким образом, уравнение принимает вид \(10x + 6 = x^2 + 3x — 2\).

3. Следующий шаг — привести уравнение к стандартному виду квадратного уравнения. Для этого перенесём все слагаемые в левую часть, чтобы получить равенство с нулём справа: \(0 = x^2 + 3x — 2 — 10x — 6\). Объединим похожие члены: \(x^2 — 7x — 8 = 0\). Это классическое квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта. Вычислим дискриминант по формуле \(D = b^2 — 4ac\), где \(a = 1\), \(b = -7\), \(c = -8\). Получаем \(D = (-7)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 49 + 32 = 81\).

4. Поскольку дискриминант положителен, уравнение имеет два действительных корня. Найдём их по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Подставляем значения: \(x_1 = \frac{7 — 9}{2} = -1\), \(x_2 = \frac{7 + 9}{2} = 8\). Это два возможных значения переменной \(x\), при которых три данных выражения будут членами арифметической прогрессии.

5. Проверим оба варианта, подставив каждый корень в выражения для \(a_1\), \(a_2\) и \(a_3\). Если \(x = -1\), то \(a_1 = (-1)^2 — 4 = 1 — 4 = -3\), \(a_2 = 5 \cdot (-1) + 3 = -5 + 3 = -2\), \(a_3 = 3 \cdot (-1) + 2 = -3 + 2 = -1\). Последовательность \(-3, -2, -1\) действительно является арифметической прогрессией с разностью 1. Если \(x = 8\), то \(a_1 = 8^2 — 4 = 64 — 4 = 60\), \(a_2 = 5 \cdot 8 + 3 = 40 + 3 = 43\), \(a_3 = 3 \cdot 8 + 2 = 24 + 2 = 26\). Последовательность \(60, 43, 26\) — арифметическая прогрессия с разностью \(-17\). Таким образом, оба значения \(x\) подходят, и мы нашли два решения задачи.