ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 25.33 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каком значении \(y\) значения выражений \(y^2 + 1\), \(y^2 + y\) и \(8y — 10\) являются последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Дано: \(a_1 = y^2 + 1\), \(a_2 = y^2 + y\), \(a_3 = 8y — 10\).

В арифметической прогрессии \(a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}\).

Подставим: \(y^2 + y = \frac{(y^2 + 1) + (8y — 10)}{2}\).

Умножим на 2: \(2(y^2 + y) = y^2 + 1 + 8y — 10\).

Раскроем скобки: \(2y^2 + 2y = y^2 + 8y — 9\).

Перенесём в одну сторону: \(2y^2 + 2y — y^2 — 8y + 9 = 0\).

Упростим: \(y^2 — 6y + 9 = 0\).

Решим квадратное уравнение: \((y — 3)^2 = 0\), значит \(y = 3\).

Найдём члены прогрессии:
\(a_1 = 3^2 + 1 = 9 + 1 = 10\),
\(a_2 = 3^2 + 3 = 9 + 3 = 12\),
\(a_3 = 8 \cdot 3 — 10 = 24 — 10 = 14\).

Ответ: \(10, 12, 14\).

1. Даны три члена арифметической прогрессии: \(a_1 = y^2 + 1\), \(a_2 = y^2 + y\), \(a_3 = 8y — 10\).

2. В арифметической прогрессии средний член равен среднему арифметическому соседних, то есть \(a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}\).

3. Подставим выражения для членов: \(y^2 + y = \frac{(y^2 + 1) + (8y — 10)}{2}\).

4. Умножим обе части равенства на 2, чтобы избавиться от дроби: \(2(y^2 + y) = y^2 + 1 + 8y — 10\).

5. Раскроем скобки слева и упростим правую часть: \(2y^2 + 2y = y^2 + 8y — 9\).

6. Перенесём все члены в левую часть уравнения: \(2y^2 + 2y — y^2 — 8y + 9 = 0\).

7. Сложим подобные члены: \(y^2 — 6y + 9 = 0\).

8. Решим квадратное уравнение. Заметим, что оно является полным квадратом: \((y — 3)^2 = 0\).

9. Значит, \(y = 3\).

10. Подставим найденное значение \(y\) в выражения для членов прогрессии:
\(a_1 = 3^{2} + 1 = 9 + 1 = 10\),
\(a_2 = 3^{2} + 3 = 9 + 3 = 12\),
\(a_3 = 8 \cdot 3 — 10 = 24 — 10 = 14\).

Ответ: \(10, 12, 14\).