Учебное пособие «Алгебра. Углублённый уровень. 9 класс» под редакцией Аркадия Мерзляка и Виталия Полякова представляет собой полный и систематизированный курс по алгебре, специально разработанный для школьников, стремящихся к более глубокому пониманию предмета. Это издание полностью соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) и ориентировано на расширенное изучение алгебры в 9 классе общеобразовательных школ.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 25.34 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
При каком значении \(y\) значения выражений \(y^2 — 24\), \(3y + 5\), \(4y + 13\) и \(2y^2 — y + 25\) являются последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.
Дано: \(a_1 = y^2 — 2y\), \(a_2 = 3y + 5\), \(a_3 = 4y + 13\), \(a_4 = 2y^2 — y + 25\).
1) \(a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}\)
\(2(3y + 5) = (y^2 — 2y) + (4y + 13)\)
\(6y + 10 = y^2 + 2y + 13\)
\(y^2 — 4y + 3 = 0\)
\(D = 4^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4\)
\(y_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1\), \(y_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3\)
2) \(a_3 = \frac{a_2 + a_4}{2}\)
\(2(4y + 13) = (3y + 5) + (2y^2 — y + 25)\)
\(8y + 26 = 2y^2 + 2y + 30\)
\(2y^2 — 6y + 4 = 0\)
\(y^2 — 3y + 2 = 0\)
\(D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1\)
\(y_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1\), \(y_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2\)
Общее \(y = 1\).
Члены прогрессии:
\(a_1 = 1^2 — 2 \cdot 1 = 1 — 2 = -1\)
\(a_2 = 3 \cdot 1 + 5 = 3 + 5 = 8\)
\(a_3 = 4 \cdot 1 + 13 = 4 + 13 = 17\)
\(a_4 = 2 \cdot 1^2 — 1 + 25 = 2 — 1 + 25 = 26\)
Ответ: если \(y = 1\), то члены прогрессии: \(-1, 8, 17, 26\).
1) Дано: \(a_1 = y^2 — 2y\), \(a_2 = 3y + 5\), \(a_3 = 4y + 13\), \(a_4 = 2y^2 — y + 25\). Нужно проверить, что эти числа образуют арифметическую прогрессию.
2) Для арифметической прогрессии верно равенство: \(a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}\). Подставим выражения:
\(3y + 5 = \frac{(y^2 — 2y) + (4y + 13)}{2}\).
3) Умножим обе части на 2:
\(2(3y + 5) = y^2 — 2y + 4y + 13\).
Получаем:
\(6y + 10 = y^2 + 2y + 13\).
4) Перенесём все в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
\(y^2 + 2y + 13 — 6y — 10 = 0\),
что упрощается до
\(y^2 — 4y + 3 = 0\).
5) Найдём дискриминант:
\(D = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4\).
6) Найдём корни уравнения:
\(y_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1\), \(y_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3\).
7) Второе условие арифметической прогрессии: \(a_3 = \frac{a_2 + a_4}{2}\). Подставим значения:
\(4y + 13 = \frac{(3y + 5) + (2y^2 — y + 25)}{2}\).
8) Умножим обе части на 2:
\(2(4y + 13) = 3y + 5 + 2y^2 — y + 25\).
Получаем:
\(8y + 26 = 2y^2 + 2y + 30\).
9) Перенесём все в одну сторону:
\(2y^2 + 2y + 30 — 8y — 26 = 0\),
что упрощается до
\(2y^2 — 6y + 4 = 0\).
Разделим на 2:
\(y^2 — 3y + 2 = 0\).
10) Найдём дискриминант:
\(D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1\).
Корни:
\(y_1 = \frac{3 — 1}{2} = 1\), \(y_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2\).
11) Общий корень для обоих уравнений — \(y = 1\).
12) Подставим \(y = 1\) в выражения для членов прогрессии:
\(a_1 = 1^2 — 2 \cdot 1 = 1 — 2 = -1\),
\(a_2 = 3 \cdot 1 + 5 = 3 + 5 = 8\),
\(a_3 = 4 \cdot 1 + 13 = 4 + 13 = 17\),
\(a_4 = 2 \cdot 1^2 — 1 + 25 = 2 — 1 + 25 = 26\).
13) Ответ: при \(y = 1\) члены арифметической прогрессии равны \(-1, 8, 17, 26\).
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.