ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 25.35 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каком значении \(x\) значения выражений \(3x + 4\), \(2x + 3\), \(12\) и \(2x^2 + x\) являются последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Дано: \(a_1 = 3x + 4\), \(a_2 = 2x + 3\), \(a_3 = x^2\), \(a_4 = 2x^2 + x\).

Первое условие: \(a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}\).

Подставим:

\(2(2x + 3) = (3x + 4) + x^2\),

\(4x + 6 = 3x + 4 + x^2\),

\(x^2 — x — 2 = 0\).

Решаем квадратное уравнение:

\(D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\),

\(x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1\), \(x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2\).

Второе условие: \(a_3 = \frac{a_2 + a_4}{2}\).

Подставим:

\(2x^2 = (2x + 3) + (2x^2 + x)\),

\(2x^2 = 2x + 3 + 2x^2 + x\),

\(0 = 3x + 3\),

\(3x = -3\),

\(x = -1\).

Проверяем прогрессию при \(x = -1\):

\(a_1 = 3 \cdot (-1) + 4 = 1\),

\(a_2 = 2 \cdot (-1) + 3 = 1\),

\(a_3 = (-1)^2 = 1\),

\(a_4 = 2 \cdot (-1)^2 + (-1) = 1\).

Ответ: если \(x = -1\), то члены прогрессии \(1, 1, 1, 1\).

1) Даны четыре члена арифметической прогрессии, выраженные через переменную \(x\): \(a_1 = 3x + 4\), \(a_2 = 2x + 3\), \(a_3 = x^2\), \(a_4 = 2x^2 + x\). Арифметическая прогрессия характеризуется тем, что разность между любыми двумя соседними членами постоянна. Это значит, что разность \(a_2 — a_1\) равна разности \(a_3 — a_2\), а также равна разности \(a_4 — a_3\). Из этого свойства можно вывести важное равенство: \(2a_2 = a_1 + a_3\). Это равенство означает, что второй член прогрессии равен среднему арифметическому первого и третьего членов.

2) Подставим в это равенство выражения для \(a_1\), \(a_2\) и \(a_3\): \(2(2x + 3) = (3x + 4) + x^2\). Раскроем скобки слева: \(4x + 6 = 3x + 4 + x^2\). Чтобы получить уравнение стандартного вида, перенесём все члены в одну сторону: \(x^2 + 3x + 4 — 4x — 6 = 0\). Упростим выражение: \(x^2 — x — 2 = 0\). Получили квадратное уравнение, которое нужно решить, чтобы найти возможные значения \(x\), при которых заданные члены образуют арифметическую прогрессию.

3) Для решения квадратного уравнения \(x^2 — x — 2 = 0\) вычислим дискриминант по формуле \(D = b^2 — 4ac\), где \(a = 1\), \(b = -1\), \(c = -2\). Подставим значения: \(D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9\). Дискриминант положительный, значит уравнение имеет два действительных корня. Найдём их по формуле \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Первый корень: \(x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1\), второй корень: \(x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2\). Таким образом, возможные значения \(x\) — это \(-1\) и \(2\).

4) Следующий шаг — проверить второе условие арифметической прогрессии, которое гласит, что третий член равен среднему арифметическому второго и четвёртого членов: \(a_3 = \frac{a_2 + a_4}{2}\), или эквивалентно \(2a_3 = a_2 + a_4\). Подставим выражения: \(2x^2 = (2x + 3) + (2x^2 + x)\). Упростим правую часть: \(2x^2 = 2x + 3 + 2x^2 + x\). Перенесём все члены в левую сторону: \(2x^2 — 2x^2 = 2x + x + 3\), что даёт \(0 = 3x + 3\). Решим уравнение: \(3x = -3\), откуда \(x = -1\).

5) Проверим, какие значения \(x\) подходят для обоих условий. Из первого уравнения получили два корня: \(-1\) и \(2\), а из второго — только \(x = -1\). Значит, чтобы все четыре члена действительно образовывали арифметическую прогрессию, \(x\) должно равняться \(-1\). Подставим это значение в выражения для членов прогрессии: \(a_1 = 3 \cdot (-1) + 4 = 1\), \(a_2 = 2 \cdot (-1) + 3 = 1\), \(a_3 = (-1)^2 = 1\), \(a_4 = 2 \cdot (-1)^2 + (-1) = 2 — 1 = 1\). Все члены равны \(1\), что подтверждает, что при \(x = -1\) последовательность является арифметической прогрессией с постоянной разностью, равной нулю.