ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 25.36 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Дана арифметическая прогрессия \((a_n)\), в которой \(a_k = m\), \(a_l = k\) (\(m \neq k\)). Найдите \(a_n\).

Дана арифметическая прогрессия, в которой \(a_k = m\), \(a_m = k\), и \(m \neq k\).

1) В первом случае:

\(a_{k+m} = a_1 + d(k + m — 1) = a_1 + d(k — 1) + dm\)

\(a_{k+m} = a_k + dm = m + dm\)

2) Во втором случае:

\(a_{k+m} = a_1 + d(k + m — 1) = a_1 + d(m — 1) + dk\)

\(a_{k+m} = a_m + dk = k + dk\)

3) Приравниваем:

\(m + dm = k + dk\)

\(m(1 + d) = k(1 + d)\)

\(1 + d = 0\)

\(d = -1\)

Тогда

\(a_{k+m} = m + m(-1) = 0\)

Ответ: 0

Арифметическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается прибавлением постоянного числа, называемого разностью, к предыдущему члену. Обозначим первый член прогрессии как \(a_1\), а разность как \(d\). Тогда любой член прогрессии с номером \(n\) можно выразить формулой \(a_n = a_1 + d(n — 1)\). Это основное свойство арифметической прогрессии, которое позволит нам найти нужные члены по заданным условиям.

По условию задачи известно, что \(a_k = m\) и \(a_m = k\), где \(k\) и \(m\) — номера членов прогрессии, а \(k \neq m\). Подставим эти значения в формулу общего члена: для \(a_k\) это будет \(m = a_1 + d(k — 1)\), а для \(a_m\) — \(k = a_1 + d(m — 1)\). Теперь у нас есть две формулы с двумя неизвестными — \(a_1\) и \(d\). Чтобы найти их, мы вычтем первое уравнение из второго, чтобы избавиться от \(a_1\): \(k — m = d(m — k)\). Это уравнение позволяет выразить разность \(d\) как \(d = \frac{k — m}{m — k}\).

Обратим внимание, что \(m — k = -(k — m)\), поэтому дробь упрощается до \(d = -1\). Это важный результат: разность прогрессии равна \(-1\). Теперь, зная \(d\), подставим его обратно в одно из уравнений, например в \(m = a_1 + d(k — 1)\), чтобы найти первый член прогрессии: \(m = a_1 — (k — 1)\), откуда \(a_1 = m + k — 1\). Теперь можно найти любой член прогрессии, в частности, член с номером \(k + m\): \(a_{k+m} = a_1 + d(k + m — 1) = (m + k — 1) + (-1)(k + m — 1)\). Раскроем скобки и упростим: \(a_{k+m} = m + k — 1 — k — m + 1 = 0\). Таким образом, мы получили, что \(a_{k+m} = 0\).