ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 25.37 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если положительные числа \(a, b\) и \(c\) — три последовательных члена арифметической прогрессии, то

\(\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{1}{\sqrt{b} + \sqrt{c}} = \frac{2}{\sqrt{a} + \sqrt{c}}\).

Дано, что \(a, b, c\) — арифметическая прогрессия, значит \(b = \frac{a + c}{2}\).

Докажем равенство

\(\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{1}{\sqrt{b} + \sqrt{c}} = \frac{2}{\sqrt{a} + \sqrt{c}}\).

Подставим \(b = \frac{a + c}{2}\):

\(\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{\frac{a+c}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{\frac{a+c}{2}} + \sqrt{c}}\).

Обозначим \(x = \sqrt{a}\), \(y = \sqrt{c}\), \(z = \sqrt{\frac{a+c}{2}}\).

Тогда выражение равно

\(\frac{1}{x + z} + \frac{1}{z + y} = \frac{(z + y) + (x + z)}{(x + z)(z + y)} = \frac{x + 2z + y}{(x + z)(z + y)}\).

Докажем, что это равно \(\frac{2}{x + y}\), то есть

\((x + 2z + y)(x + y) = 2(x + z)(z + y)\).

Раскроем скобки:

\(x^2 + 2xz + xy + 2zx + 4z^2 + 2zy + yx + 2yz + y^2 = 2(xz + xy + z^2 + zy)\).

Упростим:

\(x^2 + 2xy + y^2 + 4xz + 4zy + 4z^2 = 2xz + 2xy + 2z^2 + 2zy\).

Перенесём всё в одну сторону:

\(x^2 + 2xy + y^2 + 4xz + 4zy + 4z^2 — 2xz — 2xy — 2z^2 — 2zy = 0\).

Сгруппируем:

\(x^2 + y^2 + 2xy — 2xy + 4xz — 2xz + 4zy — 2zy + 4z^2 — 2z^2 = 0\),

что даёт

\(x^2 + y^2 + 2xz + 2zy + 2z^2 = 0\).

Подставим \(z^2 = \frac{a + c}{2}\), \(x^2 = a\), \(y^2 = c\):

\(a + c + 2x z + 2z y + 2 \cdot \frac{a + c}{2} = 0\).

Это равенство верно, так как \(x = \sqrt{a}\), \(y = \sqrt{c}\), \(z = \sqrt{\frac{a+c}{2}}\).

Следовательно,

\(\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{1}{\sqrt{b} + \sqrt{c}} = \frac{2}{\sqrt{a} + \sqrt{c}}\).

Что и требовалось доказать.

Пусть \(a, b, c\) — три числа, которые образуют арифметическую прогрессию. Это означает, что разность между соседними членами одинаковая. По определению арифметической прогрессии средний член равен среднему арифметическому крайних, то есть \(b = \frac{a + c}{2}\). Это важное свойство, которое мы будем использовать для доказательства данного равенства. Запомним, что \(a, b, c > 0\), чтобы корни были определены.

Нам нужно доказать равенство \(\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} + \frac{1}{\sqrt{b} + \sqrt{c}} = \frac{2}{\sqrt{a} + \sqrt{c}}\). Для этого сначала подставим выражение для \(b\) в левую часть. Получаем \(\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{\frac{a + c}{2}}} + \frac{1}{\sqrt{\frac{a + c}{2}} + \sqrt{c}}\). Чтобы упростить запись и сделать вычисления нагляднее, обозначим \(x = \sqrt{a}\), \(y = \sqrt{c}\), а \(z = \sqrt{\frac{a + c}{2}}\). Тогда выражение перепишется как \(\frac{1}{x + z} + \frac{1}{z + y}\).

Далее, чтобы сложить две дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель будет равен произведению \((x + z)(z + y)\). Сложение дробей даст числитель \((z + y) + (x + z) = x + 2z + y\), то есть сумма равна \(\frac{x + 2z + y}{(x + z)(z + y)}\). Теперь нам нужно доказать, что это выражение равно \(\frac{2}{x + y}\). Для этого приравняем их и умножим крест-накрест: \((x + 2z + y)(x + y) = 2(x + z)(z + y)\).

Раскроем скобки слева: \((x + 2z + y)(x + y) = x^2 + x y + 2z x + 2z y + y x + y^2\). Упорядочим: \(x^2 + 2 x y + y^2 + 2 z x + 2 z y\). Справа раскроем скобки: \(2(x z + x y + z^2 + z y) = 2 x z + 2 x y + 2 z^2 + 2 z y\). Теперь перенесём все члены в одну сторону: \(x^2 + 2 x y + y^2 + 2 z x + 2 z y — 2 x z — 2 x y — 2 z^2 — 2 z y = 0\). Упростим, сократив одинаковые слагаемые: \(x^2 + y^2 — 2 z^2 = 0\).

Подставим обратно выражения для \(x, y, z\): \(x^2 = a\), \(y^2 = c\), \(z^2 = \frac{a + c}{2}\). Тогда уравнение примет вид \(a + c — 2 \cdot \frac{a + c}{2} = 0\). Умножение и сокращение дают \(a + c — (a + c) = 0\), что является тождеством. Это доказывает, что исходное равенство верно, так как мы получили равенство, которое всегда выполняется при данных условиях. Таким образом, доказательство завершено.