Учебное пособие «Алгебра. Углублённый уровень. 9 класс» под редакцией Аркадия Мерзляка и Виталия Полякова представляет собой полный и систематизированный курс по алгебре, специально разработанный для школьников, стремящихся к более глубокому пониманию предмета. Это издание полностью соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) и ориентировано на расширенное изучение алгебры в 9 классе общеобразовательных школ.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 25.38 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Докажите, что если значения выражений \(\frac{1}{b+c}\), \(\frac{1}{a+c}\) и \(\frac{1}{a+b}\) являются последовательными членами арифметической прогрессии, то значения выражений \(a^2\), \(b^2\) и \(c^2\) также являются последовательными членами арифметической прогрессии.
Дана арифметическая прогрессия: \( \frac{1}{b+c}, \frac{1}{a+c}, \frac{1}{a+b} \).
В арифметической прогрессии выполняется равенство:
\( \frac{1}{a+c} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{b+c} + \frac{1}{a+b} \right) \).
Умножим обе части на \( 2(a+c)(b+c)(a+b) \):
\( 2(b+c)(a+b) = (a+c)(a+b) + (a+c)(b+c) \).
Раскроем скобки и упростим:
\( 2(ab + b^2 + ac + bc) = (a+c)(a+b) + (a+c)(b+c) \).
Раскроем правую часть:
\( (a+c)(a+b) + (a+c)(b+c) = (a+c)(a+b + b+c) = (a+c)(a + 2b + c) \).
Раскроем скобки справа:
\( (a+c)(a + 2b + c) = a^2 + 2ab + ac + ac + 2bc + c^2 = a^2 + 2ab + 2ac + 2bc + c^2 \).
Запишем уравнение:
\( 2ab + 2b^2 + 2ac + 2bc = a^2 + 2ab + 2ac + 2bc + c^2 \).
Вычтем из обеих частей \( 2ab + 2ac + 2bc \):
\( 2b^2 = a^2 + c^2 \).
Это означает, что \( a^2, b^2, c^2 \) образуют арифметическую прогрессию.
Что и требовалось доказать.
1. Дано, что числа \( \frac{1}{b+c}, \frac{1}{a+c}, \frac{1}{a+b} \) образуют арифметическую прогрессию. Значит, средний член равен полусумме крайних:
\( \frac{1}{a+c} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{b+c} + \frac{1}{a+b} \right) \).
2. Умножим обе части равенства на \( 2(a+c)(b+c)(a+b) \), чтобы избавиться от знаменателей:
\( 2(b+c)(a+b) = (a+c)(a+b) + (a+c)(b+c) \).
3. Раскроем скобки в левой части:
\( 2(ab + b^2 + ac + bc) \).
4. В правой части вынесем общий множитель \( (a+c) \):
\( (a+c)((a+b) + (b+c)) = (a+c)(a + 2b + c) \).
5. Раскроем скобки в правой части:
\( a^2 + 2ab + ac + ac + 2bc + c^2 = a^2 + 2ab + 2ac + 2bc + c^2 \).
6. Запишем итоговое равенство:
\( 2ab + 2b^2 + 2ac + 2bc = a^2 + 2ab + 2ac + 2bc + c^2 \).
7. Вычтем из обеих частей \( 2ab + 2ac + 2bc \):
\( 2b^2 = a^2 + c^2 \).
8. Полученное равенство означает, что \( a^2, b^2, c^2 \) образуют арифметическую прогрессию, так как средний член в квадрате равен полусумме квадратов крайних.
9. Следовательно, если \( \frac{1}{b+c}, \frac{1}{a+c}, \frac{1}{a+b} \) — арифметическая прогрессия, то \( a^2, b^2, c^2 \) тоже образуют арифметическую прогрессию.
10. Доказано.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.