ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 25.39 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что если числа \(a, b, c\) — три последовательных члена арифметической прогрессии, то значения выражений \(a^2 + ab + b^2\), \(a^2 + ac + c^2\), \(b^2 + bc + c^2\) также являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Дана арифметическая прогрессия \(a, b, c\). Тогда \(b = \frac{a + c}{2}\).

Докажем равенство

\(a^2 + ac + c^2 = \frac{(a^2 + ab + b^2) + (b^2 + bc + c^2)}{2}\).

Подставим \(b = \frac{a + c}{2}\):

\(2(a^2 + ac + c^2) = (a^2 + ab + b^2) + (b^2 + bc + c^2)\).

Раскроем скобки и подставим \(b\):

\(2(a^2 + ac + c^2) = a^2 + a \cdot \frac{a + c}{2} + \left(\frac{a + c}{2}\right)^2 + \left(\frac{a + c}{2}\right)^2 + \frac{a + c}{2} \cdot c + c^2\).

Умножим обе части на 2:

\(4(a^2 + ac + c^2) = 2a^2 + a(a + c) + (a + c)^2 + (a + c)^2 + c(a + c) + 2c^2\).

Раскроем степени и умножения:

\(4a^2 + 4ac + 4c^2 = 2a^2 + a^2 + a c + a^2 + 2 a c + c^2 + a^2 + 2 a c + c^2 + c a + c^2 + 2 c^2\).

Сложим похожие члены справа:

\(4a^2 + 4ac + 4c^2 = 2a^2 + a^2 + a^2 + a^2 + a c + 2 a c + 2 a c + c a + c^2 + c^2 + c^2 + 2 c^2\).

Упростим:

\(4a^2 + 4ac + 4c^2 = 6 a^2 + 6 a c + 5 c^2\).

Это равенство неверно, значит нужно проверить исходное равенство с правильными коэффициентами.

Вернёмся к изначальному доказательству из примера:

\(2(a^2 + ac + c^2) = a^2 + 2 b^2 + c^2 + b(a + c)\),

где \(b = \frac{a + c}{2}\).

Подставим \(b\):

\(2(a^2 + ac + c^2) = a^2 + 2 \left(\frac{a + c}{2}\right)^2 + c^2 + \frac{a + c}{2}(a + c)\).

Раскроем:

\(2 a^2 + 2 ac + 2 c^2 = a^2 + \frac{(a + c)^2}{2} + c^2 + \frac{(a + c)^2}{2}\).

Сложим правую часть:

\(a^2 + c^2 + \frac{(a + c)^2}{2} + \frac{(a + c)^2}{2} = a^2 + c^2 + (a + c)^2\).

Раскроем \((a + c)^2\):

\(a^2 + c^2 + a^2 + 2 a c + c^2 = 2 a^2 + 2 a c + 2 c^2\).

Таким образом,

\(2(a^2 + ac + c^2) = 2 a^2 + 2 a c + 2 c^2\),

что верно.

Что и требовалось доказать.

Пусть у нас есть три числа \(a, b, c\), которые являются членами арифметической прогрессии. Это значит, что разность между соседними числами постоянна, и, в частности, среднее число \(b\) равно среднему арифметическому крайних чисел \(a\) и \(c\). Запишем это как формулу: \(b = \frac{a + c}{2}\). Это ключевое свойство арифметической прогрессии, которое мы будем использовать дальше.

Теперь рассмотрим три новых выражения: \(A = a^{2} + a b + b^{2}\), \(B = a^{2} + a c + c^{2}\) и \(C = b^{2} + b c + c^{2}\). Задача состоит в том, чтобы доказать, что эти три числа также образуют арифметическую прогрессию. Для этого нам нужно проверить равенство \(B = \frac{A + C}{2}\). Если оно выполняется, значит \(B\) — среднее арифметическое \(A\) и \(C\), и значит \(A, B, C\) — арифметическая прогрессия.

Подставим в выражения для \(A\) и \(C\) значение \(b = \frac{a + c}{2}\). Тогда

\(A = a^{2} + a \cdot \frac{a + c}{2} + \left(\frac{a + c}{2}\right)^{2}\),

\(C = \left(\frac{a + c}{2}\right)^{2} + \frac{a + c}{2} \cdot c + c^{2}\).

Раскроем скобки и упростим \(A\). Сначала умножим и возведём в квадрат:

\(A = a^{2} + \frac{a^{2} + a c}{2} + \frac{(a + c)^{2}}{4} = a^{2} + \frac{a^{2} + a c}{2} + \frac{a^{2} + 2 a c + c^{2}}{4}\).

Чтобы сложить эти дроби, приведём их к общему знаменателю 4:

\(A = \frac{4 a^{2}}{4} + \frac{2 a^{2} + 2 a c}{4} + \frac{a^{2} + 2 a c + c^{2}}{4} = \frac{4 a^{2} + 2 a^{2} + 2 a c + a^{2} + 2 a c + c^{2}}{4}\).

Сложим числители:

\(A = \frac{7 a^{2} + 4 a c + c^{2}}{4}\).

Аналогично упростим \(C\):

\(C = \frac{(a + c)^{2}}{4} + \frac{c (a + c)}{2} + c^{2} = \frac{a^{2} + 2 a c + c^{2}}{4} + \frac{c a + c^{2}}{2} + c^{2}\).

Приведём к общему знаменателю 4:

\(C = \frac{a^{2} + 2 a c + c^{2}}{4} + \frac{2 c a + 2 c^{2}}{4} + \frac{4 c^{2}}{4} = \frac{a^{2} + 2 a c + c^{2} + 2 c a + 2 c^{2} + 4 c^{2}}{4}\).

Сложим числители:

\(C = \frac{a^{2} + 4 a c + 7 c^{2}}{4}\).

Теперь найдём среднее арифметическое \(A\) и \(C\):

\(\frac{A + C}{2} = \frac{1}{2} \left(\frac{7 a^{2} + 4 a c + c^{2}}{4} + \frac{a^{2} + 4 a c + 7 c^{2}}{4}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{8 a^{2} + 8 a c + 8 c^{2}}{4} = \frac{1}{2} \cdot \frac{8 (a^{2} + a c + c^{2})}{4} = \frac{1}{2} \cdot 2 (a^{2} + a c + c^{2}) = a^{2} + a c + c^{2}\).

Это точно совпадает с выражением для \(B\), значит \(B = \frac{A + C}{2}\), и следовательно, числа \(A, B, C\) образуют арифметическую прогрессию. Таким образом, мы доказали, что если \(a, b, c\) — члены арифметической прогрессии, то и \(a^{2} + a b + b^{2}\), \(a^{2} + a c + c^{2}\), \(b^{2} + b c + c^{2}\) тоже образуют арифметическую прогрессию.