ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 25.40 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите все арифметические прогрессии с разностью 10, состоящие из простых чисел и имеющие не менее трёх членов.

Пусть дана арифметическая прогрессия \(a_1 = p\), \(a_2 = p + 10\), \(a_3 = p + 20\), где \(p\) — простое число.

Остатки при делении на 3:
\[
\frac{a_1}{3} = \frac{p}{3}, \quad \frac{a_2}{3} = \frac{p + 10}{3} = 3 + \frac{p + 1}{3}, \quad \frac{a_3}{3} = \frac{p + 20}{3} = 6 + \frac{p + 2}{3}.
\]

Одно из чисел должно делиться на 3, значит:
\[
a_1 = p = 3,
\]
тогда
\[
a_2 = 3 + 10 = 13,
\]
\[
a_3 = 3 + 20 = 23.
\]

Ответ: 3; 13; 23.

1. Пусть арифметическая прогрессия задана тремя числами \(a_1 = p\), \(a_2 = p + 10\), \(a_3 = p + 20\), где \(p\) — простое число.

2. Проверим условие, что все три числа простые. Для этого рассмотрим остатки этих чисел при делении на 3.

3. Остаток от деления \(a_1 = p\) на 3 обозначим как \(r\), тогда остаток от деления \(a_2 = p + 10\) на 3 будет равен \(r + 1 \pmod{3}\), так как 10 при делении на 3 даёт остаток 1.

4. Остаток от деления \(a_3 = p + 20\) на 3 равен \(r + 2 \pmod{3}\), потому что 20 при делении на 3 даёт остаток 2.

5. Значит остатки трёх членов прогрессии при делении на 3 идут подряд: \(r\), \(r + 1\), \(r + 2\) по модулю 3.

6. Если \(r = 0\), то \(p\) делится на 3. Но \(p\) — простое число, значит \(p = 3\).

7. Если \(r = 1\), тогда \(a_3 = p + 20\) делится на 3, и при этом \(a_3 > 3\), значит \(a_3\) не простое.

8. Если \(r = 2\), тогда \(a_2 = p + 10\) делится на 3, и при этом \(a_2 > 3\), значит \(a_2\) не простое.

9. Следовательно, единственный случай, когда все три члена прогрессии простые — это \(p = 3\).

10. Подставим \(p = 3\):
\[
a_1 = 3, \quad a_2 = 13, \quad a_3 = 23,
\]
все три числа простые.

Ответ: 3; 13; 23.