ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 25.41 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите все арифметические прогрессии с разностью 2, состоящие из простых чисел и имеющие не менее трёх членов.

Пусть арифметическая прогрессия с разностью 2: \(a_1 = p\), \(a_2 = p + 2\), \(a_3 = p + 4\), где \(p\) — простое число.

Проверим остатки при делении на 3:

\(\frac{a_1}{3} = \frac{p}{3}\),

\(\frac{a_2}{3} = \frac{p + 2}{3}\),

\(\frac{a_3}{3} = \frac{p + 4}{3} = 1 + \frac{p + 1}{3}\).

Одно из чисел делится на 3, значит \(p = 3\).

Тогда:

\(a_1 = 3\),

\(a_2 = 3 + 2 = 5\),

\(a_3 = 3 + 4 = 7\).

Ответ: 3; 5; 7.

1. Пусть первые три члена арифметической прогрессии с разностью 2 равны \(a_1 = p\), \(a_2 = p + 2\), \(a_3 = p + 4\), где \(p\) — простое число.

2. Все три числа должны быть простыми, то есть \(p\), \(p + 2\), и \(p + 4\) — простые числа.

3. Рассмотрим делимость этих чисел на 3. Среди трёх последовательных чисел с шагом 2 обязательно одно делится на 3, так как остатки при делении на 3 повторяются по циклу.

4. Проверим остатки при делении на 3 для каждого члена: \(p \mod 3\), \((p + 2) \mod 3\), \((p + 4) \mod 3\).

5. Возможные остатки при делении на 3 — 0, 1 или 2. Если \(p \equiv 0 \pmod 3\), то \(p = 3\), так как 3 — простое число.

6. Если \(p \not\equiv 0 \pmod 3\), то одно из чисел \(p\), \(p + 2\), \(p + 4\) будет делиться на 3 и больше 3, значит оно не простое.

7. Следовательно, единственный случай, когда все три числа простые — когда \(p = 3\).

8. Тогда \(a_1 = 3\), \(a_2 = 3 + 2 = 5\), \(a_3 = 3 + 4 = 7\).

9. Проверим простоту: 3, 5 и 7 — все простые числа.

10. Значит, единственная арифметическая прогрессия с разностью 2 из трёх простых чисел — это \(3; 5; 7\).