ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 25.42 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Известно, что бесконечная арифметическая прогрессия, членами которой являются натуральные числа, содержит квадрат натурального числа. Докажите, что эта прогрессия содержит бесконечно много членов, являющихся квадратами натуральных чисел.

Пусть дана арифметическая прогрессия \(a_1, a_2, a_3, \ldots\) с разностью \(d\).

1) Пусть \(a_k = m^2\), где \(m \in \mathbb{N}\). Тогда

\(a_{n+k} = a_1 + d(n + k — 1) = a_1 + d(k — 1) + dn = a_k + dn = m^2 + dn\).

2) Если \(n = 2m + d\), то

\(a_{2m + d + k} = m^2 + d(2m + d) = m^2 + 2md + d^2 = (m + d)^2\).

Что и требовалось доказать.

1) Пусть дана арифметическая прогрессия с первыми членом \(a_1\) и разностью \(d\), то есть каждый её член можно записать как \(a_n = a_1 + (n-1)d\), где \(n\) — номер члена прогрессии.

2) Из условия известно, что в прогрессии есть хотя бы один член, являющийся квадратом натурального числа. Обозначим этот член \(a_k\), тогда \(a_k = m^2\) для некоторого натурального числа \(m\).

3) Рассмотрим члены прогрессии, которые идут после \(a_k\). Их можно записать так: \(a_{n+k} = a_1 + (n + k — 1)d = a_k + dn = m^2 + dn\).

4) Нам нужно доказать, что таких членов, которые являются квадратами, бесконечно много.

5) Рассмотрим выражение \(a_{2m + d + k}\), где \(m\) — натуральное число, а \(d\) — разность прогрессии.

6) Подставим в формулу для членов прогрессии: \(a_{2m + d + k} = m^2 + d(2m + d) = m^2 + 2md + d^2\).

7) Заметим, что \(m^2 + 2md + d^2 = (m + d)^2\).

8) Значит, члены прогрессии с номерами \(2m + d + k\) равны квадратам натуральных чисел \((m + d)^2\).

9) Поскольку \(m\) может принимать любое натуральное значение, таких членов бесконечно много.

10) Таким образом, если в арифметической прогрессии есть хотя бы один квадрат, то в ней бесконечно много квадратов.