ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 25.43 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Числа \(a, b, a^2\) являются членами бесконечной арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел. Известно, что \(a < b\). Докажите, что число \(b^2\) является членом этой прогрессии.

Дана арифметическая прогрессия с членами \(x_n = a\), \(x_{n+m} = b\), \(x_{n+k} = a^2\), где \(a < b\).

1) Второй член прогрессии:

\(x_{n+m} = x_1 + d(n + m — 1)\)

\(x_{n+m} = x_1 + d(n — 1) + dm\)

\(x_{n+m} = x_n + dm\)

\(b = a + dm\)

2) Получим равенство:

\(b^2 = (a + dm)^2 = a^2 + 2adm + (dm)^2\)

\(b^2 = x_{n+k} + d(2am + dm^2)\)

\(b^2 = x_1 + d(n + k — 1 + 2am + dm^2)\)

Что и требовалось доказать.

1) Пусть разность арифметической прогрессии равна \(d\), тогда любой член прогрессии можно записать как \(x_m = x_1 + d(m-1)\), где \(x_1\) — первый член.

2) По условию \(x_n = a\), значит \(a = x_1 + d(n-1)\).

3) Аналогично \(x_{n+m} = b\), значит \(b = x_1 + d(n + m — 1)\).

4) Вычтем из второго уравнения первое: \(b — a = d(n + m — 1) — d(n — 1) = dm\), откуда \(b = a + dm\).

5) По условию \(x_{n+k} = a^2\), значит \(a^2 = x_1 + d(n + k — 1)\).

6) Рассмотрим \(b^2 = (a + dm)^2 = a^2 + 2adm + (dm)^2\).

7) Подставим \(a^2 = x_1 + d(n + k — 1)\), тогда

\(b^2 = x_1 + d(n + k — 1) + 2adm + (dm)^2\).

8) Выразим \(2adm + (dm)^2\) через \(d\):

\(2adm + (dm)^2 = d(2am + dm^2)\).

9) Значит

\(b^2 = x_1 + d(n + k — 1 + 2am + dm^2)\).

10) Это означает, что \(b^2\) — член арифметической прогрессии с номером \(n + k — 1 + 2am + dm^2\), то есть \(b^2\) принадлежит прогрессии. Что и требовалось доказать.