Учебное пособие «Алгебра. Углублённый уровень. 9 класс» под редакцией Аркадия Мерзляка и Виталия Полякова представляет собой полный и систематизированный курс по алгебре, специально разработанный для школьников, стремящихся к более глубокому пониманию предмета. Это издание полностью соответствует требованиям Федерального государственного образовательного стандарта (ФГОС) и ориентировано на расширенное изучение алгебры в 9 классе общеобразовательных школ.
ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 25.44 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы
Докажите, что в бесконечной арифметической прогрессии, состоящей из натуральных чисел, найдутся два члена, имеющие одинаковую сумму цифр.
Пусть \( a_1 \) — натуральное число из \( k \) цифр, а разность прогрессии — \( d \). Возьмём номера членов прогрессии \( n \) и \( m \) такие, что \( n — 1 = 10^k \), \( m — 1 = 10^p \), где \( p > k \).
Тогда
\( a_n = a_1 + d(n-1) = a_1 + d \cdot 10^k \),
\( a_m = a_1 + d(m-1) = a_1 + d \cdot 10^p \).
Числа \( d \cdot 10^k \) и \( d \cdot 10^p \) заканчиваются на не меньше чем \( k \) нулей, чем и \( a_1 \). Значит, при сложении сумма цифр \( a_n \) равна сумме цифр \( a_1 \) и \( d \), то же самое для \( a_m \).
Следовательно, суммы цифр \( a_n \) и \( a_m \) равны, что и требовалось доказать.
1. Пусть \( a_1 \) — первый член арифметической прогрессии, который является натуральным числом с \( k \) цифрами. Обозначим разность прогрессии через \( d \).
2. Рассмотрим два члена прогрессии с номерами \( n \) и \( m \), где \( n — 1 = 10^k \), а \( m — 1 = 10^p \), при этом \( p > k \).
3. Тогда члены прогрессии запишутся так: \( a_n = a_1 + d(n — 1) = a_1 + d \cdot 10^k \) и \( a_m = a_1 + d(m — 1) = a_1 + d \cdot 10^p \).
4. Число \( d \cdot 10^k \) представляет собой число \( d \), к которому справа дописано \( k \) нулей. Аналогично, \( d \cdot 10^p \) — это число \( d \) с \( p \) нулями справа.
5. Поскольку \( a_1 \) — \( k \)-значное число, то при сложении \( a_1 + d \cdot 10^k \) и \( a_1 + d \cdot 10^p \) цифры \( a_1 \) и \( d \) не смешиваются, так как добавленные нули отделяют их разрядно.
6. Следовательно, сумма цифр числа \( a_n \) равна сумме цифр \( a_1 \) и суммы цифр числа \( d \), так как нули не влияют на сумму цифр.
7. Аналогично, сумма цифр числа \( a_m \) также равна сумме цифр \( a_1 \) и суммы цифр числа \( d \).
8. Таким образом, суммы цифр \( a_n \) и \( a_m \) совпадают.
9. Значит, в бесконечной арифметической прогрессии найдутся два члена, у которых суммы цифр равны.
10. Это и доказывает требуемое утверждение.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.