ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 25.45 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Докажите, что арифметическая прогрессия \((a_n)\), где \(a_n = 3n + 2\), содержит бесконечно много простых чисел.

Дана арифметическая прогрессия \(a_n = 3n + 2\).

Пусть множество простых чисел вида \(3n + 2\) конечно, и они равны \(p_1, p_2, p_3, \ldots, p_k\).

Рассмотрим число \(A = 3(p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot \ldots \cdot p_k) + 2\).

Число \(A\) не делится на простые числа \(p_1, p_2, \ldots, p_k\), так как при делении на каждое из них остаток равен 2.

При делении числа \(A\) на 3 остаток равен 2, значит среди простых делителей числа \(A\) есть ещё одно простое число вида \(3n + 2\), и это не одно из чисел \(p_1, p_2, p_3, \ldots, p_k\).

Возникло противоречие, значит множество простых чисел вида \(3n + 2\) бесконечно, что и требовалось доказать.

1. Рассмотрим арифметическую прогрессию чисел вида \(3n + 2\), где \(n\) — натуральное число.

2. Предположим, что простых чисел вида \(3n + 2\) всего конечное количество. Обозначим их через \(p_1, p_2, p_3, \ldots, p_k\).

3. Рассмотрим число \(A = 3 \cdot (p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 \cdot \ldots \cdot p_k) + 2\).

4. Число \(A\) имеет вид \(3m + 2\), где \(m = p_1 p_2 \ldots p_k\).

5. При делении числа \(A\) на любое из простых чисел \(p_i\) остаток равен 2, потому что \(p_i\) делит произведение \(p_1 p_2 \ldots p_k\), но не делит число 2.

6. Значит, число \(A\) не делится ни на одно из простых чисел \(p_1, p_2, \ldots, p_k\).

7. Если число \(A\) простое, то это новое простое число вида \(3n + 2\), которого нет в списке \(p_1, p_2, \ldots, p_k\).

8. Если число \(A\) составное, то у него есть простой делитель. Этот простой делитель не может быть равен 3, так как \(A\) при делении на 3 даёт остаток 2.

9. Следовательно, у числа \(A\) есть простой делитель, отличный от 3 и от всех \(p_i\), и этот делитель должен иметь вид \(3n + 2\).

10. Таким образом, мы нашли простое число вида \(3n + 2\), не входящее в исходный конечный список, что противоречит предположению о конечности. Значит, простых чисел вида \(3n + 2\) бесконечно много.