ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 25.47 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

При каких значениях параметра \(a\) система уравнений

\(\begin{cases} ax + 2y = 3 \\ 8x + ay = a + 2 \end{cases}\) не имеет решений?

Даны уравнения: \( ax + 2y = 3 \) и \( 8x + ay = a + 2 \).

Перепишем их в виде:
\( y = -\frac{a}{2}x + \frac{3}{2} \) и \( y = -\frac{8}{a}x + \frac{a+2}{a} \).

Прямые параллельны, если:
\( -\frac{a}{2} = -\frac{8}{a} \), значит \( \frac{a}{2} = \frac{8}{a} \).
Умножим обе части на \( 2a \): \( a^2 = 16 \), значит \( a = \pm 4 \).

Прямые не совпадают, если свободные члены не равны:
\( \frac{3}{2} \neq \frac{a+2}{a} \).

Проверим для \( a = 4 \):
\( \frac{a+2}{a} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \) — совпадают, значит решения есть.

Проверим для \( a = -4 \):
\( \frac{a+2}{a} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2} \neq \frac{3}{2} \) — не совпадают, решений нет.

Ответ: \( a = -4 \).

1. Дана система уравнений: \( ax + 2y = 3 \) и \( 8x + ay = a + 2 \).

2. Выразим \( y \) из первого уравнения:
\( 2y = 3 — ax \), значит \( y = -\frac{a}{2}x + \frac{3}{2} \).

3. Выразим \( y \) из второго уравнения:
\( ay = a + 2 — 8x \), значит \( y = -\frac{8}{a}x + \frac{a+2}{a} \), при условии \( a \neq 0 \).

4. Чтобы система не имела решений, прямые должны быть параллельны и не совпадать. Значит, угловые коэффициенты равны:
\( -\frac{a}{2} = -\frac{8}{a} \).

5. Упростим равенство:
\( \frac{a}{2} = \frac{8}{a} \).

6. Умножим обе части на \( 2a \):
\( a^2 = 16 \).

7. Найдём корни:
\( a = \pm 4 \).

8. Проверим свободные члены для \( a = 4 \):
\( \frac{3}{2} \) и \( \frac{4+2}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \) — свободные члены равны, значит прямые совпадают, решения есть.

9. Проверим свободные члены для \( a = -4 \):
\( \frac{3}{2} \) и \( \frac{-4+2}{-4} = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2} \) — свободные члены не равны, значит прямые параллельны и не совпадают, решений нет.

10. Следовательно, система не имеет решений при \( a = -4 \).