ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 25.48 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите наибольшее значение выражения \(\frac{x^2}{9 + x^4}\).

Если \(x=0\), то \(\frac{x^2}{9+x^4} = \frac{0^2}{9+0^4} = 0\).

По неравенству Коши: \(\frac{9+x^4}{2} \geq \sqrt{9 \cdot x^4} = 3x^2\), значит \(9+x^4 \geq 6x^2 > 0\).

Тогда \(\frac{1}{9+x^4} \leq \frac{1}{6x^2}\), умножим обе части на \(x^2\):

\(\frac{x^2}{9+x^4} \leq \frac{1}{6}\).

Ответ: \(\frac{1}{6}\).

1) Подставим \(x=0\) в функцию и найдём значение: \(f(0) = \frac{0^2}{9 + 0^4} = 0\).

2) Рассмотрим числа \(9\) и \(x^4\). По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим имеем: \(\frac{9 + x^4}{2} \geq \sqrt{9 \cdot x^4} = 3x^2\).

3) Умножим обе части неравенства на 2 и получим: \(9 + x^4 \geq 6x^2\).

4) Теперь рассмотрим исходную функцию: \(f(x) = \frac{x^2}{9 + x^4}\).

5) Подставим в знаменатель неравенство из пункта 3: так как \(9 + x^4 \geq 6x^2\), то \(\frac{1}{9 + x^4} \leq \frac{1}{6x^2}\) при \(x \neq 0\).

6) Умножим обе части на \(x^2\), получим: \(\frac{x^2}{9 + x^4} \leq \frac{x^2}{6x^2} = \frac{1}{6}\).

7) Значит, функция \(f(x)\) не может быть больше \(\frac{1}{6}\).

8) Проверим, когда достигается равенство. Оно происходит, когда \(9 + x^4 = 6x^2\).

9) Решим уравнение: \(x^4 — 6x^2 + 9 = 0\). Подставим \(t = x^2\), тогда \(t^2 — 6t + 9 = 0\).

10) Решая квадратное уравнение, найдём \(t = 3\), значит \(x^2 = 3\). Подставим в функцию: \(f(x) = \frac{3}{9 + 9} = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}\).

Ответ: \(\frac{1}{6}\).