ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 26.12 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

(Старинная египетская задача.) Сто мер хлеба надо разделить между пятью людьми так, чтобы второй получил на столько же больше первого, на сколько третий получил больше второго, четвёртый больше третьего и пятый больше четвёртого. Кроме того, двое первых должны получить в 7 раз меньше, чем трое последних. Сколько надо дать каждому?

\(a_1 = \frac{5}{3}\)
\(a_2 = 10 \frac{5}{6}\)
\(a_3 = 20\)
\(a_4 = 29 \frac{1}{6}\)
\(a_5 = 38 \frac{1}{3}\)

1. Пусть первый получил \(a_1\), второй — \(a_2 = a_1 + d\), третий — \(a_3 = a_1 + 2d\), четвертый — \(a_1 + 3d\), пятый — \(a_1 + 4d\).

2. Всего хлеба 100 мер:
\(a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + (a_1 + 3d) + (a_1 + 4d) = 100\)
\(5a_1 + 10d = 100\)
\(a_1 + 2d = 20\)

3. Второй и первый вместе получили в 7 раз меньше, чем трое последних:
\(a_1 + a_2 = \frac{1}{7}(a_3 + a_4 + a_5)\)
\(a_1 + (a_1 + d) = \frac{1}{7}((a_1 + 2d) + (a_1 + 3d) + (a_1 + 4d))\)
\(2a_1 + d = \frac{1}{7}(3a_1 + 9d)\)
\(14a_1 + 7d = 3a_1 + 9d\)
\(14a_1 — 3a_1 = 9d — 7d\)
\(11a_1 = 2d\)

4. Из пункта 2:
\(a_1 + 2d = 20\)
\(2d = 20 — a_1\)
Подставим в пункт 3:
\(11a_1 = 20 — a_1\)
\(12a_1 = 20\)
\(a_1 = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}\)

5. Найдём разность:
\(d = 10 — \frac{a_1}{2} = 10 — \frac{5}{6} = \frac{55}{6}\)

6. Найдём все значения:
\(a_2 = a_1 + d = \frac{5}{3} + \frac{55}{6} = \frac{10}{6} + \frac{55}{6} = \frac{65}{6} = 10 \frac{5}{6}\)
\(a_3 = a_1 + 2d = \frac{5}{3} + 2 \cdot \frac{55}{6} = \frac{5}{3} + \frac{110}{6} = \frac{10}{6} + \frac{110}{6} = \frac{120}{6} = 20\)
\(a_4 = a_1 + 3d = \frac{5}{3} + 3 \cdot \frac{55}{6} = \frac{5}{3} + \frac{165}{6} = \frac{10}{6} + \frac{165}{6} = \frac{175}{6} = 29 \frac{1}{6}\)
\(a_5 = a_1 + 4d = \frac{5}{3} + 4 \cdot \frac{55}{6} = \frac{5}{3} + \frac{220}{6} = \frac{10}{6} + \frac{220}{6} = \frac{230}{6} = 38 \frac{1}{3}\)

7. Ответ:
\(a_1 = \frac{5}{3}\)
\(a_2 = 10 \frac{5}{6}\)
\(a_3 = 20\)
\(a_4 = 29 \frac{1}{6}\)
\(a_5 = 38 \frac{1}{3}\)