ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 26.18 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 12 и меньших 200.

Ищем числа: \(12, 24, 36, \ldots, 192\).

Это арифметическая прогрессия: \(a_1 = 12\), \(d = 12\).

Пусть \(a_n < 200\): \(12n < 200 \Rightarrow n < \frac{200}{12} = 16\frac{2}{3}\).

Значит, всего \(16\) членов.

Последний член: \(a_{16} = 12 \times 16 = 192\).

Сумма: \(S_{16} = \frac{16}{2}(12 + 192) = 8 \times 204 = 1632\).

Числа, кратные 12 и меньшие 200, образуют последовательность: \(12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144, 156, 168, 180, 192\). Это арифметическая прогрессия с первым членом \(a_1 = 12\) и разностью \(d = 12\). Каждый следующий член находится по формуле \(a_n = a_1 + (n-1)d\). Чтобы определить количество членов, решим неравенство: \(12n < 200\), откуда \(n < \frac{200}{12}\). Преобразуем дробь: \(\frac{200}{12} = \frac{100}{6} = 16\frac{2}{3}\), значит, максимальное целое значение \(n = 16\). Проверим последний член: \(a_{16} = 12 + (16-1) \times 12 = 12 + 180 = 192\).

Для вычисления суммы всех этих членов используем формулу суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\). Подставим найденные значения: \(S_{16} = \frac{16}{2}(12 + 192)\). Сначала вычислим сумму внутри скобок: \(12 + 192 = 204\). Затем разделим количество членов пополам: \(\frac{16}{2} = 8\). Получаем итоговое выражение: \(S_{16} = 8 \times 204 = 1632\).

Итак, последовательность всех положительных чисел, кратных 12 и меньших 200, состоит из 16 членов, последний из которых — 192. Сумма всех этих членов равна 1632. Важно отметить, что для нахождения количества членов мы использовали строгое неравенство, чтобы не включать число 204, превышающее 200. Все вычисления выполнены по формулам арифметической прогрессии, а последовательность наглядно демонстрирует регулярное увеличение каждого следующего члена на одинаковую величину, равную 12.