ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 26.26 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Может ли сумма каких-либо четырёх последовательных членов арифметической прогрессии \(2, 8, 14, \ldots\) быть равной 176? В случае утвердительного ответа найдите эти члены.

Дано: арифметическая прогрессия \(2; 8; 14; \ldots\)

\(a_1 = 2\), \(a_2 = 8\)

\(d = a_2 — a_1 = 8 — 2 = 6\)

\(a_n = a_1 + d(n-1) = 2 + 6(n-1) = 6n — 4\)

Сумма четырёх членов: \(S_4 = a_n + a_{n+1} + a_{n+2} + a_{n+3}\)

\(a_n = 6n — 4\)
\(a_{n+1} = 6(n+1) — 4 = 6n + 2\)
\(a_{n+2} = 6(n+2) — 4 = 6n + 8\)
\(a_{n+3} = 6(n+3) — 4 = 6n + 14\)

\(S_4 = (6n — 4) + (6n + 2) + (6n + 8) + (6n + 14) = 24n + 20\)

\(24n + 20 = 176\)

\(24n = 156\)

\(n = \frac{156}{24} = 6{,}5\)

\(6{,}5 \notin \mathbb{N}\)

Ответ: нет.

1. Дана арифметическая прогрессия: \(2; 8; 14; \ldots\)

2. Первый член прогрессии: \(a_1 = 2\)

3. Второй член прогрессии: \(a_2 = 8\)

4. Находим разность прогрессии: \(d = a_2 — a_1 = 8 — 2 = 6\)

5. Формула n-го члена прогрессии: \(a_n = a_1 + d(n-1) = 2 + 6(n-1) = 2 + 6n — 6 = 6n — 4\)

6. Запишем четыре последовательных члена прогрессии:
\(a_n = 6n — 4\)
\(a_{n+1} = 6(n+1) — 4 = 6n + 6 — 4 = 6n + 2\)
\(a_{n+2} = 6(n+2) — 4 = 6n + 12 — 4 = 6n + 8\)
\(a_{n+3} = 6(n+3) — 4 = 6n + 18 — 4 = 6n + 14\)

7. Найдём их сумму:
\(S_4 = a_n + a_{n+1} + a_{n+2} + a_{n+3}\)
\(S_4 = (6n — 4) + (6n + 2) + (6n + 8) + (6n + 14)\)
\(S_4 = 6n — 4 + 6n + 2 + 6n + 8 + 6n + 14\)
\(S_4 = 24n + 20\)

8. По условию задачи сумма равна 176:
\(24n + 20 = 176\)

9. Решаем уравнение:
\(24n = 176 — 20\)
\(24n = 156\)
\(n = \frac{156}{24} = 6{,}5\)

10. Поскольку \(n = 6{,}5\) — не натуральное число, то таких четырёх последовательных членов не существует.

Ответ: нет.