ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 26.31 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Первый член арифметической прогрессии равен 100, а сумма шести первых членов в 5 раз больше суммы следующих шести членов. Чему равна разность прогрессии?

\(a_1 = 100\)

\(S_6 = 3(200 + 5d)\)

\(S_{12} = 6(200 + 11d)\)

\(S_6 = 5(S_{12} — S_6)\)

\(S_6 = 5S_{12} — 5S_6\)

\(6S_6 = 5S_{12}\)

\(6 \cdot 3(200 + 5d) = 5 \cdot 6(200 + 11d)\)

\(18(200 + 5d) = 30(200 + 11d)\)

\(3600 + 90d = 6000 + 330d\)

\(90d — 330d = 6000 — 3600\)

\(-240d = 2400\)

\(d = -10\)

1. Пусть первый член прогрессии \(a_1 = 100\), разность прогрессии \(d\).

2. Формула суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии: \(S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n\).

3. Сумма первых шести членов: \(S_6 = \frac{2 \cdot 100 + 5d}{2} \cdot 6 = \frac{200 + 5d}{1} \cdot 3 = 3(200 + 5d)\).

4. Сумма первых двенадцати членов: \(S_{12} = \frac{2 \cdot 100 + 11d}{2} \cdot 12 = (200 + 11d) \cdot 6 = 6(200 + 11d)\).

5. Сумма членов с седьмого по двенадцатый: \(S_{7-12} = S_{12} — S_6 = 6(200 + 11d) — 3(200 + 5d)\).

6. По условию задачи: \(S_6 = 5S_{7-12}\).

7. Подставим выражения: \(3(200 + 5d) = 5 \left[6(200 + 11d) — 3(200 + 5d)\right]\).

8. Раскроем скобки: \(3(200 + 5d) = 5 \left[1200 + 66d — 600 — 15d\right]\).

9. Упростим: \(3(200 + 5d) = 5(600 + 51d)\).

10. Получаем уравнение: \(600 + 15d = 3000 + 255d\).

11. Перенесём все слагаемые с \(d\) в одну сторону, а числа — в другую: \(15d — 255d = 3000 — 600\).

12. \( -240d = 2400 \).

13. \( d = -10 \).