ГДЗ по Алгебре 9 Класс Номер 26.32 Углубленный Уровень Мерзляк, Поляков — Подробные Ответы

Разность арифметической прогрессии равна 28, а сумма пяти первых членов в 4 раза меньше суммы следующих шести членов. Чему равен первый член прогрессии?

Дано: \(d = 28\), \(4S_5 = S_{6-11}\)

\(S_5 = 5(a_1 + 2 \cdot 28) = 5(a_1 + 56)\)

\(S_{11} = 11(a_1 + 5 \cdot 28) = 11(a_1 + 140)\)

\(S_{6-11} = S_{11} — S_5\)

\(4S_5 = S_{6-11}\)

\(4 \cdot 5(a_1 + 56) = 11(a_1 + 140) — 5(a_1 + 56)\)

\(20(a_1 + 56) = 11(a_1 + 140) — 5(a_1 + 56)\)

\(20(a_1 + 56) + 5(a_1 + 56) = 11(a_1 + 140)\)

\(25(a_1 + 56) = 11(a_1 + 140)\)

\(25a_1 + 1400 = 11a_1 + 1540\)

\(25a_1 — 11a_1 = 1540 — 1400\)

\(14a_1 = 140\)

\(a_1 = \frac{140}{14} = 10\)

1. Пусть первый член прогрессии \(a_1\), а разность \(d = 28\).

2. Сумма первых пяти членов:
\(S_5 = \frac{(a_1 + (a_1 + 4d))}{2} \cdot 5 = \frac{2a_1 + 4d}{2} \cdot 5 = 5(a_1 + 2d)\)
\(S_5 = 5(a_1 + 2 \cdot 28) = 5(a_1 + 56)\)

3. Сумма одиннадцати первых членов:
\(S_{11} = \frac{(a_1 + (a_1 + 10d))}{2} \cdot 11 = \frac{2a_1 + 10d}{2} \cdot 11 = 11(a_1 + 5d)\)
\(S_{11} = 11(a_1 + 5 \cdot 28) = 11(a_1 + 140)\)

4. Сумма с шестого по одиннадцатый член:
\(S_{6-11} = S_{11} — S_5\)
\(S_{6-11} = 11(a_1 + 140) — 5(a_1 + 56)\)

5. По условию:
\(4S_5 = S_{6-11}\)
\(4 \cdot 5(a_1 + 56) = 11(a_1 + 140) — 5(a_1 + 56)\)

6. Раскроем скобки и перенесём всё в одну часть:
\(20(a_1 + 56) = 11(a_1 + 140) — 5(a_1 + 56)\)
\(20(a_1 + 56) + 5(a_1 + 56) = 11(a_1 + 140)\)
\(25(a_1 + 56) = 11(a_1 + 140)\)

7. Раскроем скобки:
\(25a_1 + 1400 = 11a_1 + 1540\)

8. Переносим неизвестное в одну сторону, известное — в другую:
\(25a_1 — 11a_1 = 1540 — 1400\)
\(14a_1 = 140\)

9. Находим первый член:
\(a_1 = \frac{140}{14} = 10\)